2021—2022学年度第一学期期末考试高三理科数学试卷考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上）1．若集合，且，则集合可以是（）A．B．C．D．2．已知复数（为虚数单位）给出下列命题：①；②；③的虚部为．其中正确命题的个数是（）A．B．C．2D．33．若，且，则（）A．B．C．D．4．已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列，设的前项和为，则（）A．B．C．D．5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ） A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α C．若则m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，则m∥n6．已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为()A．1﹣1，1]B．1﹣2，2]C．D．7．（）A．B．C．D．22
8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．9．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（）A．B．C．D．10．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（）A．2B．C．5D．11．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．12．已知函数（是以为底的自然对数，22
），若存在实数，，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题(本大题共4小题，每小题5分．)13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线的焦点，则点F到双曲线的渐近线的距离为．16．已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，分别交，于点，，则______．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数部分图象如图所示．（1）求值及图中的值；（2）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求的值．22
18．（12分）设正项等比数列，，且，的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，22
，若椭圆经过点，且的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程．21．（12分）已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值．23．（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式：；22
（2）若，，且，求证：．22
高三年级第5次月考数学答案（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，且，则集合可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∵集合，∴选项A满足要求．故选A．2．已知复数（为虚数单位）给出下列命题：①；②；③的虚部为．其中正确命题的个数是（）A．B．C．2D．3【答案】C【解析】∵复数，∴，，的虚部为，则①②正确，③错误．故选C．3．若，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，且，∴，∴．故选B．4．已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列，设的前项和为，则（）22
A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为．∵，，成等比数列，∴，即，∴，解得．∴．故选A．5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ） A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α C．若则m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，则m∥n【答案】C【解析】对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；故选C．6．已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为()A．1﹣1，1]B．1﹣2，2]C．D．【答案】D由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4．∵圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，∴圆心到直线的距离d=≤4，∴0≤m≤.22
7．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．故选A．8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】满足条件的四面体如图：依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如图．故选B．9．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（）22
A．B．C．D．【答案】D【解析】∵上任一点处切线斜率为，∴，∴函数，则该函数为奇函数，且当时，．故选D．10．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（）A．2B．C．5D．【答案】A【解析】平行四边形中，，，，点在边上，，，，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，，，，设，22
则，，，，设，因为，所以当时，有最大值，故选A．11．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵等比数列的首项为，公比为，∴，∴．①当为奇数时，随着的增大而减小，则，故；②当为偶数时，随着的增大而增大，则，故．∴的最大值与最小值的比值为．故选B．12．已知函数（是以为底的自然对数，22
），若存在实数，，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，作出函数的图象如图所示：∵存在实数，，满足，∴根据函数图象可得，．∴，即．∴，令，，则．当时，，即在上为减函数；当时，，即在上为增函数．∴，∵，∴，∴的取值范围为．故选C．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。22
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．【答案】63【解析】∵，，，，∴按照以上规律，可得．故填．15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为 ．【答案】【解析】抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为22
d==．故答案为：．16．已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，分别交，于点，，则______．【答案】【解析】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示：∵点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，∴，，，∴，，∴，，，即．∵准线为线段的垂直平分线，∴，则．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数部分图象如图所示．（1）求值及图中的值；（2）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，22
，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由图象可以知道：．∴，又∵，∴，∵，∴，，，从而，．由图象可以知道，所以．（2）由，得，且．∴，∵，∴由正弦定理得，又∵由余弦定理得：，∴解得．18．（12分）设正项等比数列，，且，的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，22
由题意，得，········3分解得，········5分所以．········6分（2）由（1）得，········7分，········9分∴，········10分∴．········12分19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：，，22
，平面，平面，，，平面，平面，平面平面．（2）解:以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由点向作垂线，则，∴，∴，，，，设．∵在棱上，∴（），∴，设平面的法向量，∴，，，取，则，则．设平面的法向量，22
∴，，，取，则，．∴，∴，解得．∴，，易知平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）最小值，直线的方程为．【解析】（1）由的面积可得，即，∴．①又椭圆过点，∴．②由①②解得，，故椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得．将代入椭圆方程，得，由判别式，解得．22
由直线和圆相交的条件可得，即，也即，综上可得的取值范围是．设，，则，，由弦长公式，得．由，得．∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．21．（12分）已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．【答案】（1）；（2）不是的根．【解析】（1）∵，∴，由已知得，，．∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，符合题意，故．（2）由（1）知函数．∵函数图象与轴交于，两个不同点，∴，，两式相减整理得：22
．∵，∴令，即．∵，∴，令，∵，∴，∴，设，则．∵，∴，∴在上是增函数，∴，∴无解，即．∴不是的根．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程22
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）将（为参数）消去参数可得，∴直线的普通方程为．由，得，将，，代入上式，得，即，∴曲线的直角坐标方程为．（2）将代入中，整理得，设，两点对应参数分别为，，22
则，，∵，∴，又，∴，∴，∴，即，解得，符合题意．∴．23．（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式：；（2）若，，且，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意，原不等式等价为，令，所以不等式的解集是．（2）要证，只需证，只需证，而，从而原不等式成立．22
