宁波市2021学年第一学期期末九校联考高二数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，．若，则（）A.B.C.D.【答案】A2.已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C3.若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C
4.已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B5.若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D6.已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C7.若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）AB.C.2D.【答案】C8.如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角大小均为30°，则这样的平面有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）A.的取值范围是B.能构成空间的一个基底C.“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件D.【答案】BD10.在平面直角坐标系xOy中，点，动点M到点F的距离与到直线的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于，两点，则（）A.B.的面积的最小值是2C.当时，D.以线段OF为直径的圆与圆相离【答案】BCD11.若函数，则（）A.函数的值域为RB.函数有三个单调区间
C.方程有且仅有一个根D.函数有且仅有一个零点【答案】BC12.若数列满足，则（）A.当，时，B.当，时，C.当，时，D.当，时，【答案】AD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______．【答案】1514.已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．【答案】715.如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】16.若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．（1）求圆M的标准方程；（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）（2），18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）19.已知正项等差数列满足：，且，，
成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设前n项和为，且，求的前n项和．【答案】（1）；（2）.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，．（1）证明：；（2）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？【答案】（1）证明见解析（2）21.已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．【答案】（1）（2）是，22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，证明：．【答案】（1）函数的单调性见解析；（2）证明见解析.
