诸暨市2020－2021学年第一学期期末考试试题高三数学注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟． 2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高台体的体积公式其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的表面积公式S=4πR2其中R表示球的半径球的体积公式V=πR3其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（▲）A．B．C．D．2．已知复数满足（为虚数单位），则（▲）A．B．C．D．俯视图正视图侧视图3344243．若实数满足约束条件,则的取值范围是（▲）A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（▲）A．B．C．D．5.若，则“”是“”的（▲）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知数列的前项和为，且，,若数列和都是等差数列，则下列说法不正确的是（▲）A．是等差数列B．是等差数列C．是等比数列D．是等比数列7．已知函数，若，则（▲）A．B． C．D．P8．设若随机变量的分布列如下：则下列方差值中最大的是（▲）A．B．C．D．9．已知函数，，则下列说法正确的有（▲）①存在，函数没有零点；②存在，函数恰有三个零点；③任意，存在，函数恰有一个零点；④任意，存在，函数恰有二个零点；A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在三棱锥中，，，是棱上一点（不含端点）且，记为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（▲）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二．填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．已知双曲线的离心率，则双曲线的焦点坐标是▲；渐近线方程是▲．12.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶
距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的倍和倍(所成角记)，则▲．13．已知函数，且,则▲；若与的周期相同，则=▲．14．若多项式，则▲；▲．15.某单位把只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人(每人至少只)，且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有▲种;甲恰好领到只口罩的概率为▲．16．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为▲．17．已知椭圆的左焦点为，椭圆外一点，直线交椭圆于两点，过作椭圆的切线，切点为，若，则▲．三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知．⑴求角的大小；⑵若，的面积为，分别求、的值．19．（本题满分15分）如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，,平面，点分别为的中点，点为线段上一点，且平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）已知正项数列，记数列的前项和为，若，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21．（本题满分15分）如图，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于两点，且，弦中垂线交轴于点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点.（1）若，求点的坐标；（2）记的面积分别为,若，求点的坐标．22．（本题满分15分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在有零点，求证：（i）；（ii）.诸暨市高三数学期末考试答案2021.2一．选择题12345678910CBADCDACBA二．填空题11.；12.13.；
14.；15.；16.17.三．解答题18.解：（1）……2′……1′……2′……1′（2）……2′……1′……1′……2′……2′19.（1）……2′……2′……1′……1′（2）连交于，连,作于，连……2′为与平面所成角……1′又……1′
又……2′……1′……1′……1′法二：建立如图空间直角坐标系：……1′……2′……1′设面的法向量为，……1′令……1′……1′又……1′……2′
20.解：（1）由题意知：……2′……2′又……2′（2）……1′……2′……2′……2′……2′21.（1）设直线方程为……1′……1′……1′即……1′（2）设……1′
……2′又直线方程为：……1′直线中垂线方程为：……2′又……2′又……3′22.（1）解：……1′①当时，，在上单调递增；……1′②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增……1′（2）（i）由题意可得，要证明,只要证明，……1′设，，所以在上递增，所以，得证.……2′要证明,只要证明，……1′设，
，，，因为所以所以，所以，当时，，，得证.……2′（ii）因为，所以，……1′又在上单调递增，，……1′设，……1′，且，，……1′故，……1′所以，．……1′
