铁人中学2021级高一学年下学期月考考试数学试题试题说明：1.本试题满分150分，答题时间120分钟.2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题60分)一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．若复数满足(是虚数单位)，则的共轭复数＝()．A．B．C．D．2.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（）A．B．C．D．3．在中，内角所对的边分别为.则“”是“”的（）．A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．平面向量与的夹角为，，，则等于()A．B．C．4D．5.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A．.B．C．D．26．已知正方形的边长为，为边中点，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．7．已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（）
A．1B．C．D．8.设锐角三角形的内角的对边分别为.若，，则面积的取值范围是（）A.B.C.D.二．多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法中错误的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形10．在中，内角的对边分别为．下列四个结论正确的是()．A．若，则B．若，则满足条件的三角形共有两个C．若，且，则为正三角形D．若，，的面积，则11．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（）A．B．C．D．12.锐角中，内角所对边分别为，且，下列结论正确的是（）
A．B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13．已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为________．（15题图）14.已知等边三角形的边长为，，，，那么=________．15.如图，在直三棱柱中，，，，，F为棱AA1上的一动点，则当最小时，的面积为________．（16题图）16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是__________．三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（10分）已知复数，其中．（Ⅰ）若z为纯虚数，求m的值；（Ⅱ）若在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求的取值范围．18.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．（Ⅰ）若，，两两的夹角相等；且，，求；
（19题图）（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角．19.（12分）如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的正弦值.20.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，．（Ⅰ）设，，判断最大时的形状．(21题图)（Ⅱ）若，求周长的取值范围．21.(12分)如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距（海里）的处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．（Ⅰ）求此时该外国船只与岛的距离；（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离岛处，不让其进入岛内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)22.（12分）如图，边长为2的等边三角形中，是的中点，，分别是边，上的动点（不含端点），记.（Ⅰ）在图①中，，试将，分别用含的关系式表示出来，并证明为定值；图②图①（Ⅱ）在图②中，，问此时是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求的取值范围.
（22题图）铁人中学2021级高一下学期月考考试数学参考答案一．选择题（60分）题号123456789101112答案CAAADCBDACACBCDACD二．填空题（20分）13.14.15.16.三．解答题（70分）17.（10分）解：(1)因为复数，其中，所以，解得：m=6.(2)因为在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点.
由题意得：，解得：.即m的取值范围为.18.（12分）解：(1)当三向量两两夹角为0时，=当三向量两两夹角为时，=(2)若a＋2b与2a－b垂直，则(a＋2b)(2a－b)＝0，即2a2＋3ab－2b2＝0．于是ab＝，从而cosθ＝＝－1，所以θ＝π．19.（12分）（1），，（2），，又因为所以，.20.（12分）（1）∵，∴由正弦定理得，∴，，．∴，∴时，取得最大值3，此时，又，则，是直角三角形；（2）由（1）知，∴，
∴，当且仅当时等号成立，∴，又，∴，∴三角形周长的取值范围是．21.（12分）解：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°．由余弦定理得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos45°＝200，所以DB＝10，即此时该外国船只与岛的距离为nmile．(2)过点作于点．在Rt△ABC中，AC＝BC＝8，所以CD＝AD－AC＝6．以为圆心，为半径的圆交于点，连接AE，DE．在Rt△DEC中，CE＝＝6，所以BE＝2．又AE＝＝10，所以sin∠EAC＝＝，可得∠EAC≈36°52′．由于外国船只到达点所用时间为t＝＝(时)，所以海监船的速度v≥＝20(nmile/h)，航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20nmile/h．22.（12分）（1）由，，则，，，在和中，分别应用正弦定理可得，，故，，所以，，.从而
，从而为定值；（2）当，，则，，，在和中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，，，.令，，，设，则，，由，，，，又在上单调递减，在上单调递增，而当或2时，，当时，，所以，因此.
