株洲市二中2022年下学期高二期中考试试卷数学试题时量：150分钟分值：120分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.曲线在处的切线的斜率为（）AB.C.D.3.若离散型随机变量的分布列如下图所示．01则实数的值为（）A.或B.C.D.或4.已知等比数列中，，，则（）A.1B.2C.±1D.±25.在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（）A.B.C.D.6.若是一个三位正整数，且的个位数大于十位数，十位数大于百位数，则称为“三位递增数”（如、、等），在所有的三位数中任取一个三位数，则该数是“三位递增数”的概率为（）A.B.C.D.
7.现有5名抗疫志愿者被分配到栗雨、南塘、泰山、云里四个不同社区进行疫情防疫控制，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配名志愿者，则不同的分配方案有（）A.种B.种C.种D.种8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题，本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华名族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（）A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想B.由“在相邻两行中，除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想；C.第条斜线上各数字之和为；D.在第条斜线上，各数从左往右先增大后减少10.下列关于二项式展开式说法正确的是（）
A.若，则的展开式中二项式系数最大的项为第项：B.若的展开式中第二项与第三项的系数互为相反数，则；C.若，则D.若，则11.已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确是（）A.B.C.数列是等比数列D.数列的前项和为12.已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（）A.B.C.若，则D.a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为，第二、三台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第一、二三台车床加工的零件数分别占总数，，，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是____________________________________．14.已知等比数列中，，公比是函数的两个极值点，则数列的前项之和___________________．
15.已知点是椭圆上的两点，且线段恰好为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为____________．16.若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共个，若从袋子中任意摸出个球，至少有一个白球的概率为．（1）求白球和黑球各有多少个：（2）现从中不放回的取球，每次取球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率．19.设的内角的对边分别为，且（1）求角的大小：（2）若边上的高为，求的值．21.如图，为圆柱轴截面，是圆柱上异于的母线．（1）证明：；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值；
23.已知等差数列的前项和为．（1）求的通项公式：（2）数列满足为数列的前项和，是否存在正整数使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．25.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距最小值为．（1）求抛物线的方程．（2）若点在圆上，、是抛物线两条切线，、是切点，求面积的最大值．27已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，恒成立，求整数的最小值（参考数据：)【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B
【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）袋子中白球的个数为，黑球的个数为（2）【小问1详解】解：设黑球的的个数为，
由已知可得，可得，因为且，因此，，所以，袋子中白球的个数为，黑球的个数为.【小问2详解】解：记事件第一次取出黑球，事件第二次取出白球，则，，所以，.【19题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】解：由题意得：根据余弦定理可知：整理可知：即可知，于是【小问2详解】设边上的高为，则，即由（1）可知，故解得：于是21【小问1详解】连接CF，如图，
因为圆柱的轴截面，则CD是圆的直径，而是圆柱上异于的母线，于是得，即，又，则四边形为平行四边形，有，所以.【小问2详解】由（1）知，平面，平面，则，而，，平面，因此，平面，即有平面，又，，，当且仅当时取“=”，即当时，三棱锥的体积最大，又，，，平面，因此，平面，而平面，则，于是得是平面与平面所成二面角的平面角，而是矩形，，，所以平面与平面夹角的余弦值.【23题答案】
【答案】（1）;（2）存在满足题意.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，由得，解得，；【小问2详解】解：由（1）知，，，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意．【25题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】
解：抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，，所以，且与圆上点的距最小值为，解得，因此，抛物线的方程为.【小问2详解】解：对函数求导得，设点、、，所以，直线的方程为，即，同理可知直线的方程为，因为点为直线、的公共点，则，所以，点、的坐标满足直线方程，所以，直线的方程为，联立可得，由可得，所以，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，令，所以，面积的最大值为.27【小问1详解】
，若，则，是减函数，时，令，，当时，，时，，所以的减区间是，增区间是；【小问2详解】时，由（1）知时，，而，因此不成立，所以，设，，令，，是减函数，时，，时，，因此有唯一实解，且，，，当时，，即，时，，即，所以在上递增，在上递减，所以，，而，所以，所以，又，令，则，在上是增函数，，，所以，，
所以整数的最小值是．
