河南省高三模拟考试数学（理科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，若与的虚部相等，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】D2.已知、、均为非零向量，且，，则（）A.与垂直B.与同向C.与反向D.与反向【2题答案】【答案】C3.已知集合，，则（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】C4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%【4题答案】【答案】D5.如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】A6.在等比数列中，，，则()A.80B.242C.D.244【6题答案】【答案】B7.若，，，则（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】A8.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在
区间上不单调，则的最小值为（）A.9B.15C.21D.33【8题答案】【答案】C9.已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【9题答案】【答案】D10.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A.B.C.D.
【10题答案】【答案】B11.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是（）A.①③B.②③C.①④D.①③④【11题答案】【答案】A12.若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（）A.B.当时，的值不唯一C.可能等于D.当时，的取值范围是【12题答案】【答案】ACD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若，，则___________.【13题答案】【答案】14.拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则___________.【14题答案】【答案】
15.“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.【15题答案】【答案】16.设，若，则整数n的值为______．【16题答案】【答案】129三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.（1）求、两地之间的距离；（2）求.【17题答案】【答案】（1）（2）19.某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、
两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.【19题答案】【答案】（1）分布列答案见解析（2）优先选择挑战类知识，理由见解析【解析】【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；（2）记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，计算出、的值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由题意可知，的可能取值有、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：【小问2详解】解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，
，所以，（元），（元），所以，，所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.21.如图，点分别为圆柱下底面圆周上的三个等分点，，，分别为圆柱的三条母线，点分别为母线，上的点，且，点M是的中点．（1）证明：BM⊥平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【21题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）记AB的中点为N，连接MN，CN．利用平行四边形证明出．进而证明出CN⊥BM，MF⊥BM，利用线面垂直的判定定理即可证明BM⊥平面AEF．（2）记AC，的中点分别为D，，连接，BD，以D为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值．
【小问1详解】如图1，记AB的中点为N，连接MN，CN．因为点M是AE的中点，所以，且，所以四边形CFMN为平行四边形，则．因为MN⊥平面ABC，所以MN⊥CN，又CN⊥AB，且，所以CN⊥平面ABE，CN⊥BM．即MF⊥BM.因为，点M是AE的中点，所以AE⊥BM.因为，面AEF，面AEF，所以BM⊥平面AEF．【小问2详解】如图2，记AC，的中点分别为D，，连接，BD，则，平面ABC，BD⊥AC，以D为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示。不妨设，则，，，，．由（1）可知平面AEF的一个法向量为．设平面法向量为，，，则不妨令，则，所以，故平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值为．
23.已知函数．（1）讨论极值点的个数；（2）证明：．【23题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析﹒【解析】【分析】(1)求f(x)的导数，通分化简导数，根据a的范围讨论导数在x＞0时的正负，由此判断f(x)的单调性，根据单调性即可判断f(x)的极值点个数；(2)化简不等式为，令，求h(x)的导数，讨论的单调性和正负，判断h(x)的最小值大于0即可．【小问1详解】由题意可知，，对于二次函数，．当时，，恒成立，f(x)在单调递减，有0个极值点；当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．
【小问2详解】要证，即证．设，则，在上为增函数，∵，，∴在上，存在唯一的m，使得，即，．∴在上＜0，h(x)单调递减；在上，＞0，h(x)单调递增；∴，当且仅当m＝1时取等号，∵，∴等号不成立，∴，∴，从而原不等式得证．【点睛】本题第二问是关键点是利用零点存在性定理判断在之间存唯一零点m，利用对该隐零点进行转化，从而可证明的最小值为正，从而证明题设不等式．25.已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【25题答案】【答案】（1）；
（2）为定值，定值为.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]27.在直角坐标系中．曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C极坐标方程；（2）若A是曲线C上一动点，B是线段上一动点，且直线AB与x轴垂直．求的最大值．【27题答案】【答案】（1）（2）[选修4—5：不等式选讲]29.已知函数．（1）当时，求不等式的解集．（2）证明：当时，．【29题答案】【答案】（1）（2）证明见解析
