2022届高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2022．5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.∅2.已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝4－3i，则|z|＝( )A. B.C. D.3.为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为( )A.9 B.18 C.24 D.274.函数f(x)＝(x－)cosx的部分图象大致是( )5.我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lgN＝n＋lga(0≤lga<1).当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是( )A.71位数 B.70位数 C.69位数 D.68位数6.在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n).若f(0，1)＋f(1，0)＝8，则a的值为( )A.0 B.1 C.2 D.37.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象与y轴的交点为M(0，1)与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为( )A.5 B.6 C.7 D.88.已知函数f(x)＝若∀x≥1，f(x＋2m)＋mf(x)>0，则实数m的取值范围是( )A.(－1，＋∞) B.(－，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－，1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设P＝a＋，a∈R，则下列说法正确的是( )A.P≥2B.“a>1”，是“P≥2”的充分不必要条件C.“P>3”是“a>2”的必要不充分条件D.∃a∈(3，＋∞)，使得P<310.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )A.若a≠0，则点O在圆C外\nB.圆C与x轴相切C.若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1D.点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a211.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )A.事件B与事件C互斥 B.P(A)＝C.事件A与事件B独立 D.记C的对立事件为，则P(B|)＝12.在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，AB＝AD＝，则下列说法正确的是( )A.BE∥平面PACB.PA⊥平面PBCC.在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D.记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当cosθ∈(0，)时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量n＝(3，2)的数量积为________．14.写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式：an＝________．①数列{an}是无穷等比数列；②数列{an}不单调；③数列{|an|}单调递减．15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为________．16.19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性，根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为________；若P10(n)＝P10(1)，k∈N*，k≤9，则k的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinC＝ccosA＋c.(1)求角A的大小；(2)若a＝b，＝，求sin∠ADC.\n18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2.从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．①a3＝3a1；②{}为等差数列；③an＋2－an＝2.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.(本小题满分12分)如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E.以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°(如图②).(1)求证：PE⊥CD；(2)若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30°，求三棱锥FACD的体积．\n20.(本小题满分12分)空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空气质量等级[0，50]优(50，100]良(100，150]轻度污染(150，200]中度污染(200，300]重度污染(300，＋∞)严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月(30天)的情况：空气质量指数AQI[0，50](50，100](100，150](150，200]频数/天36156(1)利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)(2)如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周(7天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；(参考数据：0.77≈0.0824，结果精确到0.01)(3)为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量/个345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n(n≥8，且n∈N*)个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求) 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，g(x)＝xex－，e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数g(x)在(0，＋∞)上的最小值为m，求证：e<m<3.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．\n(1)若点A的坐标为(1，)，求AP的长；(2)若AB＝2AP，求点P的坐标．\n2022届高三年级模拟试卷(南京三模)数学参考答案及评分标准1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.BC 10.ABD 11.BCD 12.BD13.－1 14.(－)n(答案不唯一，只要等比数列的公比满足－1＜q＜0)15. 16.lg 517.解：(1)在△ABC中，＝.由asinC＝ccosA＋c，得sinAsinC＝sinCcosA＋sinC．(2分)因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sinA＝cosA＋1，即sin(A－)＝.因为A∈(0，π)，所以A－∈(－，)，所以A－＝，所以A＝.(4分)(2)如图，在△ABC中，(b)2＝c2＋b2－2bccos，即c2－bc－6b2＝0，解得c＝3b或c＝－2b(舍去).(6分)因为＝，所以AD＝4b，BD＝b.在△ACD中，CD2＝b2＋(4b)2－2b×4bcos＝13b2，得CD＝b.(8分)因为＝，所以sin∠ADC＝＝＝.(10分)18.解：若条件选①②.(解法1)因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(2分)即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(4分)因为a3＝3a1，解得a1＝1.(6分)因为－S1＝－1＝，所以{}是首项为1，公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝，即Sn＝.(8分)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，所以an＋2－an＝n＋2－n＝2.综上，①②Þ③成立．(12分)(解法2)因为{}为等差数列，可设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(2分)所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b.因为a3＝3a1，所以a＝b.(i)(4分)因为a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2.(ii)(6分)\n由(i)(ii)，得a＝b＝，所以Sn＝n2＋n.(8分)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，所以an＋2－an＝n＋2－n＝2，所以①②\nSymbol^C@③成立．(12分)若条件选①③.由an＋2－an＝2，得a3－a1＝2.因为a3＝3a1，所以a1＝1，a3＝3.(4分)因为an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列．因此，当n为奇数时，an＝1＋(－1)×2＝n；(6分)当n为偶数时，an＝2＋(－1)×2＝n；所以an＝n，n∈N*.(8分)所以an＋1－an＝n＋1－n＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以Sn＝，从而＝.(10分)因为－＝－＝，所以{}为等差数列，所以①③Þ②成立．(12分)若条件选②③.(解法1)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(4分)即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.(8分)因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(ii)(10分)由(i)(ii)，得a1＝1，a3＝3，所以a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)(解法2)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)因为{}为等差数列，设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(4分)所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b，所以a3－a1＝4a.(ii)(6分)由(i)(ii)，得a＝.(8分)又a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)所以a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，满足a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)(解法3)因为{}为等差数列，所以设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn.(2分)于是an＝＝＝2an－a＋b.(6分)因为an＋2－an＝2，所以4a＝2，得a＝.(8分)又a2＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)从而a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，所以a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)19.解：(1)(解法1)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE.因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，即平面PAE⊥平面AECD.(2分)又因为平面PAE∩平面AECD＝AE，PE⊂平面PAE，所以PE⊥平面AECD.因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)(解法2)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE，AE⊥CE，所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角．因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，所以∠PEC＝90°，即PE⊥CE.(2分)又PE⊥AE，AE∩CE＝E，AE⊂平面AECD，CE⊂平面AECD，所以PE⊥平面AECD.\n因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)(2)(解法1)由(1)得PE⊥平面AECD，AE⊥EC，故以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系．易得A(1，0，0)，C(0，2，0)，D(1，3，0)，P(0，0，)，所以＝(0，2，－)，＝(－1，0，)，＝(0，3，0).(5分)设＝λ＝(0，2λ，－λ)，λ∈[0，1]，则＝＋＝(－1，2λ，－λ).(6分)设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得x＝－λ，则平面FAD的一个法向量为n＝(－λ，0，1).(8分)又因为平面AECD的一个法向量为m＝(0，0，1)，且二面角FDAC的大小为30°，所以|cos〈m，n〉|＝＝||＝，整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，解得λ＝或λ＝(舍去)，故＝.(10分)因为S△ACD＝×3×1＝，所以VFACD＝VPACD＝S△ACD×PE＝.(12分)(解法2)在△PEC中，过F作FG∥EC，交PE于点G.因为EC∥AD，所以FG∥AD，因此A，D，F，G共面．在平行四边形ABCD中，易知AD⊥AE.由(1)得PE⊥平面AECD，因为AD⊂平面AECD，所以AD⊥PE.又PE∩AE＝E，AE，PE⊂平面PAE，所以AD⊥平面PAE.因为AG⊂平面PAE，所以AD⊥AG.所以∠GAE为二面角FADC的平面角，所以∠GAE＝30°.(8分)在Rt△AEG中，∠AEG＝90°，∠GAE＝30°，AE＝1，所以EG＝.(10分)因为FG∥AD，FG⊄平面AECD，AD⊂平面AECD，所以FG∥平面AECD.因此VFACD＝VGACD＝×(×3×1)×＝.(12分)20.解：(1)该场馆平均AQI的值为×(25×3＋75×6＋125×15＋175×6)＝×(1×3＋\n3×6＋5×15＋7×6)＝115.(2分)(2)该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为＝0.3.(3分)设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为ξ，则ξ～B(7，0.3).(4分)于是P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－(1－0.3)7－C(1－0.3)6×0.3＝1－0.77－7×0.76×0.3＝1－4×0.77≈0.67，所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.67.(6分)(3)设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y，则Y的可能取值为6，7，8，9，10.(7分)因为2套净化系统相互独立，所以P(Y＝9)＝0.3×0.5＋0.5×0.3＝0.3；P(Y＝10)＝0.5×0.5＝0.25；(9分)若促销期购买8个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为8＋0.3×2＋0.25×4＝9.6千元；若促销期购买9个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为9＋0.25×2＝9.5千元；若促销期购买不少于10个滤芯，则一年更换滤芯所需的费用不低于10千元，因为10＞9.6＞9.5，所以每年在促销期购买9个滤芯最合理．(12分)21.(1)解：由f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，得f′(x)＝(x2＋x)ex.(2分)令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0.因为当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1，0).(4分)(2)证明：g(x)＝xex－＝(1－)ex＋，x＞0，所以g′(x)＝[(x2－x＋1)ex－3]＝.由(1)得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝e－3＜0，f(2)＝3e2－3＞0，且f(x)的图象不间断，所以存在唯一x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，即g′(x0)＝0，即(x－x0＋1)ex0－3＝0 (*).(6分)所以当x∈(0，x0)时，f(x)＜0，即g′(x)＜0，所以g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，因此m＝g(x)min＝g(x0)＝ (**).(8分)由(*)式得ex0＝，代入(**)式得m＝＝.因为x0∈(1，2)，且函数y＝在(1，2)上单调递减，所以m＝∈(2，3).下面只需证明m>e.(10分)(证法1)由(*)式得(x0－1)ex0＝xex0－3，代入(**)式得m＝＝x0ex0.因为x0∈(1，2)，且函数y＝xex在(1，2)上单调递增，所以m＝x0ex0＞e.(12分)(证法2)因为x(ex－1)≥0，所以xex≥x，所以(x－1)ex－1≥x－1，所以(x－1)ex≥e(x－1)(当且仅当x＝1时取等号).所以g(x)＝(1－)ex＋≥＞e，所以m＝g(x)min＞e.综上，e＜m＜3.(12分)\n22.解：(1)(解法1)由y＝x2，得y′＝x，所以A处切线的斜率为，(2分)所以切线PA的方程为y－＝(x－1)，即y＝x－.联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)所以AP＝|1－|＝.(4分)(解法2)设切线PA的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx－k＋.联立方程组消元y，得x2－4kx＋(4k－1)＝0.由Δ＝16k2－4(4k－1)＝0，解得k＝，所以切线PA的方程为y＝x－.(2分)联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)所以AP＝|1－|＝.(4分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t－5)，则y1＝x，y2＝x.由y＝x2，得y′＝x，所以A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1).将P(t，t－5)代入，得t－5－y1＝x1(t－x1)，即x－2tx1＋4(t－5)＝0.(6分)同理可得x－2tx2＋4(t－5)＝0.所以x1，x2是方程x2－2tx＋4(t－5)＝0的两个解，故x1＋x2＝2t ①，x1x2＝4(t－5) ②，(7分)所以直线AB的斜率k＝＝＝t.由AB＝2AP，得|x1－x2|＝2|x1－t|，(9分)由①得|x1－x2|＝2|x1－t|，所以＝，化简得x＝t2.因为x1≠t，所以x1＝－t ③.(11分)由①②③，得3t2＋4t－20＝0，解得t1＝2，t2＝－.所以点P的坐标为(2，－3)或(－，－).(12分)
