辽宁师大附中2021-2022学年下学期5月份模块考试高二数学试题命题：高二数学备课组考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.条件p：“log2x<1”,条件q：“x<2”，则p是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件2.若是各项为正的等比数列,且公比,则与的大小关是（）A．；B．；C．；D．不确定.3.等差数列的前n项和为，已知，,则()A.38B.20C.10D.94.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )A．420只B．520只C.只D.只5.若，则成立的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.6.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )A．4B．4C．9D．167.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为()A0BCD8.方程有解，则的最小值为()A.2B.1C.D.二、多选题：本大题共4小题，共20分，在每小题给出的四个选项中，有个多项是符合题目要求的，每题全对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。\n9.集合,,且,实数的值为（）A.0B.1C.D210.a、b是正实数，以下不等式①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为( )A．①B．②C．③D．④11.已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A.①B.②C.③D.④12.我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：，于是得到：，运用此方法能使函数单调递增区间可以是（）A.（，4）B.（1，3）C（，）D.（，1）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．13.等差数列的前项和为，且则.14.恒成立，则a的最小值是.15.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________.16.已知过点P(0,a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线,则实数a的取值范围是.\n四、解答题：本大题共6小题，共7０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.18.（12分）为推行“高中新课程改革”，某数学老师分别用“传统教学”和“新课程”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果.期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于120分者为“成绩优良”.分数甲班频数75431乙班频数12557（1）从以上统计数据填写下面列联表，并判断能否犯错误的频率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良\n成绩不优良总计P（）0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635附：，其中.临界值表如上表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，抽取3人，记成绩不优良人数为X，求X的分布列及数学期望.19.（12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有：a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.20.（12分）汪先生家要购买一套商品房，计划使用公积金贷款10万元.（1）贷款按月等额本息还款，分十二年还清，已知12年期公积金贷款月利率4.455(‰)，问：汪先生家每月应还款多少元?（小数点后保留两位有效数字）（2）贷款若按月等额本金还款，月利率为r,问：汪先生家最后一期应还款多少元?（不需计算结果，只列出计算公式即可）(参考数据：1.0044551441.9，1.0050251442.1，1.0050251802.5)21.（12分）已知．⑴求函数在区间上的最小值；⑵对一切实数，恒成立，求实数a的取值范围；⑶证明对一切，恒成立．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m22.（12分）在直角坐标平面上有一点列，\n对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列。⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。辽宁师大附中2021-2022学年下学期5月份模块考试高二年级数学试题答案一、单选题：BACBCDDB二、多选题：ABCBDABDCD三、填空题：13.14.15.16.(0,)四、解答题：17、解：（1）由题意知：，，.①当时，得，解得．②当时，得，解得．…………4分综上，．（2）①当时，得，解得；…………6分②当时，得，解得．综上，．…………8分（3）由，则．…………10分18、解：（1）由统计数据得列联表：甲班乙班总计\n成绩优良81725成绩不优良12315总计202040………………………………2分根据列联表中的数据，得的观测值为所以能在犯错概率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”……………………6分（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，成绩优良人数为5，则X的可能取值为0，1，2,3.且X服从超几何分布…………8分；；；.…………10分所以X的分布列为：X0123P所以;或………………………………12分19、解：(1)由题意，零m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得\na2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列…………5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+1－a2n－1＝8n－2………………………7分另由已知(令m＝1)可得an＝.那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n,于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)………………9分当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述两式相减得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2·－2nqn＝2·，所以Sn＝2·综上所述，Sn＝…………………………12分20、解：(1)设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月 第1月末欠款数 A(1＋r)－a 第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)2－a(1＋r)－a第3月末欠款数 [A(1＋r)2－a(1＋r)－a](1＋r)－a ＝A(1＋r)3－a(1＋r)2－a(1＋r)－a …… 第n月末欠款数 …………4分得：………………………………6分对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰ （元）由此可知，汪先生家前12年每月还款940.5元………………………8分(2)月利率为r，,每月还款数m为元，则m=,第n期还款额为\n则an=+×r，所以最后一期还款额为：A144=+（由此可知，汪先生家最后一次还款+（元…12分21、解：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增．①，t无解；…………2分②，即时，；③，即时，在上单调递增，；所以………4分⑵，则，设，则，，………6分，单调递增，，，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；…………8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m⑶问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……12分22、解：（1）………2分（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：\n把代入上式，得，的方程为：。……4分，………6分=………8分（3），T中最大数.………10分设公差为，则，由此得………………12分
