江西师大附中2022届高三“三模”数学文科试卷9．地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼、黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第A∙一楼”.“云销雨霁,彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞,秋水一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只共长天一色.渔舟唱晚,响穷彭蠡之滨;雁阵惊寒,声有一项是符合题目要求的.断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.C∙1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B=2,3,4，则(∁UB)∪A=()某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的A．{1}B．{1,3}C．{1,3,5}D．{1,2,3,4,5}仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的120222．已知i是虚数单位，则i+i的虚部是()仰角为45°．若BC=AC，则楼高AB约为()B∙A．-1-iB．1-iC．1D．-1A．58米B．68米E2y2x5C．78米D．88米3．已知双曲线-=1(a,b>0)的虚轴长为2，离心率为，则其方程是()a2b2210．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：“你们四人2y22y22y2xxx22中有2位优秀，2位良好”.然后老师给甲看了乙、丙的成绩，给乙看了丙的成DA．−=1B．-=1C．−y=1D．x-=11648244绩，给丁看了甲的成绩．看后，甲对大家说“我还是不知道我的成绩”:.根据以上信息，则4．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，所构成()三棱锥C-ABD的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为()A．乙可以知道其他两人的成绩B．丁可以知道四人的成绩CCC．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩111111．定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，fx=f2-x，且当x∈0,1时，DBDBfx=x2．则函数y=7f(x)-x+2的所有零点之和为()主视图俯视图A. 7B. 14C. 21D. 28A110.2A12．已知a=1.2，b=，c=e(e是自然对数的底数)，则()9A．1B．2C．2D．1A．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．c<b<a2244二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．5．《张丘建算经》卷上第二十二题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九13．已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若(a-c)∥b，则k=________.匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若x+y≥4第一天织5尺布，现在一个月(30天)共织390尺布,则该女子最后一天织布的尺数为()14．已知实数x，y满足约束条件x-y≥0，则z=2x+y的最小值为______.A．18B．20C．21D．25xx0x≤46．已知命题p:“∀x>0,2>1”的否定是“∃x0≤0,2>1”;命题q：在等比数列an中，15．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为若a1>0，则a2>a3是a3>a6的充分不必要条件. 则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．¬pA1，A2，⋯，A16，右图是统计茎叶图中成绩在∧qC．p∧¬qD．¬p∨q1一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该7．函数fx=xlnx的图象大致为()算法流程图输出的结果是yyyy-111-11Oxx-1x-11xABCDλt8．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达到ae个,且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍. 若再过t天后其数量达到原来的8倍，则t=()A．4B．8C．12D．16高三三模数学（文科）试卷第1页共2页\n16．已知抛物线C:y2=8x及圆M:(x-2)2+y2=1，过(2，0)的直线l与抛物线C和圆M(2)现有甲、乙、丙、丁四位青年人，他们每个周末都选择去省文化中心，将他们想去的从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为场馆情况汇总如下：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每场馆图书馆科技馆博物馆意向甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.若每人只能从已登记的选择意向中随机选择一个场馆，且每个场馆至多有两人选择，2π求甲、乙两人选择去同一个场馆的概率.17. (本题满分12分) 已知函数fx=3sinωxcosωx+sinωx，其中0<ω<6，且f12附：2nad-bc21PK≥k00.1000.0500.0250.010K2==．a+bc+da+cb+d2k02.7063.8415.0246.635其中n=a+b+c+d(1)求函数fx的单调递增区间；Px2ππ520.(本题满分12分) 已知函数f(x)=e-ax(e是自然对数的底数,a∈R).(2)若θ∈12,6，且fθ=6，求sin2θ的值．(1)设f(x)的导函数为f′(x),试讨论f′(x)的单调性；3e(2)当a=e时,若x0是f(x)的极大值点,判断并证明f(x0)与大小关系.418. (本题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平ED面ABCD，四边形ABCD是平行四边形. E、Q分别是PB,BCC2y2x3的中点，△QCD是边长为1的正三角形.21．(本题满分12分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点A、B分别a2b22(1)证明：AB⊥DE;Q25(2)若PD=2,求点E到平面PDQ的距离.是其右顶点和上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为5.(1)求椭圆C的标准方程；AB1(2)设斜率为-的直线l与椭圆的两个交点（自上至下）分别为C、D，问：直线BC19．(本题满分12分)随着经济的高速发展，南昌市居住环境及人文环境进一步得到改善.2与AD的斜率之积是否为定值？若是，求出其大小；若不是，说明理由．目前已基本依水建成赣江西岸绿道、赣江东岸绿道、乌沙河绿道、玉带河桃花河绿道、抚河故道绿道、幸福渠绿道、艾溪湖瑶湖绿道等城市主干绿道．新建提升20个公园，精心打造100条景观路，织起一张“四横七纵六环”的“绿道网”.另外，位于凤凰洲赣江边的省文化中(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂心的建成已成为展示江西历史文化的地标建筑.省文化中心由省博物馆、省图书馆、省科技黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.馆三馆组成，三个主体建筑由北向南排列，分别隐喻历史、现在与未来，反映出文化发展的[选修4-4：坐标系与参数方程]路径，描述了探索知识的故事与旅程作为江西省文化的新地标、城市的新客厅，成为加快2推动江西文化强省建设的一个亮丽缩影，成为丰富江西省人民群众精神文化需求的重要x=-t2阵地.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极y=1+2t(1)相比老年人而言，青年人更喜欢在闲暇时间选择去省文化中心参观、学习.已知某2区青年人的男女比例为3：2，现采用分层抽样的方法从中抽取100名作为样本，对这100点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.位青年是否在闲暇时间去省文化中心进行统计，得条形图如下所示．(1)求曲线C的直角坐标方程；y(频率)(2)已知点P的直角坐标为0,1，l与曲线C交于A,B两点，求PA+PB.0.4男女合计0.25去文化中心[选修4-5：不等式选讲]不去文化中心23. 已知函数fx=x-4+1-x,x∈R.O去文化中心不去文化中心x合计男女(1)解不等式：fx≤5;11完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关？(2)记fx的最小值为M，若正数a,b满足a+b=M，试求a+2+b+1的最小值.高三三模数学（文科）试卷第2页共2页\n江西师大附中2022届高三“三模”试卷数学(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B=2,3,4，则(∁UB)∪A=()A. {1}B. {1,3}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5}【答案】C【解析】由题意可得∁UB=1,5，则(∁UB)∪A={1,5}∪{1,3}={1,3,5}.120222．已知i是虚数单位，则+i的虚部是()iA. -1-iB. 1-iC. 1D. -1【答案】D12022【解析】+i=-1-i，故其虚部为-1.i2y2x53．已知双曲线-=1(a,b>0)的虚轴长为2，离心率为，则双曲线的方程是()a2b222y22y2xxA.−=1B.-=1164822y2x22C.−y=1D.x-=144【答案】Cc5222【解析】由题意可知:b=1，e==．由于c=a+b，解得:a=2.a24．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，所构成三棱锥C-ABD的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为()CC1111DBDB主视图俯视图AA1221A．B．C．D．2244【答案】D【解析】在直观图中，过C作CE⊥BD交BD于E，连接AE．因为ABCD是正方形，所以E是BD的中点，进而AE⊥BD．注意到平面ABD⊥平面CBD，因此CE⊥AE.根据题意中所示的主视图与俯视图，说明等腰直角△ACE就是三棱锥C-ABD的左视1221图，其面积为⋅⋅=，选D．22245．《张丘建算经》卷上第二十二题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织学科网(北京)股份有限公司·1·\n5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为()A．18B．20C．21D．25【答案】C【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列{an}，其中a1=5，前30(5+a30)30项和为390，于是有=390，解得a30=21，即该织女最后一天织21尺布，选C．26．已知命题p:“∀x>0,2x>1”的否定是“∃x≤0,2x0>1”;命题q：在等比数列a中，若a0n1>0，则a2>a3是a3>a6的充分不必要条件. 则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．¬p∧qC．p∧¬qD．¬p∨q【答案】B【解析】对于命题p，其否定应该是“∃x>0,2x0≤1”，故p为假命题;02对于命题q，依题意a1>0,q≠0,q>0.22a2>a3⇔a1q>a1q⇔q>q⇔0<q<1；2523a3>a6⇔a1q>a1q⇔q(q-1)<0⇔q<1且q≠0；所以“a2>a3”是“a3>a6”的充分不必要条件.故q为真命题.由复合命题的真假判断得知¬p∧q为真命题.17．函数fx=xlnx的图象大致为()yyyy-111-11Oxx-1x-11xABCD【答案】C1【详解】由f-x=-xln=-fx，可知fx为奇函数，排除B，D；又fe=-e<0，排(-x)除A，故选C．λt8．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达到ae个,且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍. 若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则t=()A．4B．8C．12D．16【答案】Bln2tln2【解析】由题意得ae4λ=2a，∴λ=，即ft=ae4．设经过t天后，病毒的数量达到原来的4tln28倍，则有ae4=8a，解得t=12．所以再过12-4=8天，病毒的数量达到原来的8倍．9．地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼、黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”．“云销雨霁,彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色.渔舟唱晚,响穷彭蠡之滨;雁阵惊寒,声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写．某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直学科网(北京)股份有限公司·2·\n线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC=AC，则楼高AB约为()A．58米B．68米AC．78米D．88米∙【答案】A【解析】设AC=x，则由已知可得AB=2x，BC=BE=x，C∙ABBD==23x，tan∠ADB所以DE=BD-BE=23x-x=72∙B7272解得x=≈≈29.2，23-12×1.732-1E所以楼高AB≈2×29.2=58.4≈58．故选A．10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老D师说“你们四人中有:2位优秀，2位良好”．然后老师给甲看了乙、丙的成绩，给乙看了丙的成绩，给丁看了甲的成绩．看后，甲对大家说“我还是不知道我:的成绩”.根据以上信息，则()A．乙可以知道其他两人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好．从而乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．11．定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，fx=f2-x，且当x∈0,1时，fx=2x．则函数y=7f(x)-x+2的所有零点之和为()A. 7B. 14C. 21D. 28【答案】B【解析】依题意，f(x)是奇函数.又由fx=f2-x知，fx的图像关于x=1对称.fx+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=fx，所以fx是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-fx=-f2-x，所以fx关于点2,0对称.x-2由于y=7f(x)-x+2=0⇔f(x)=7从而函数y=7f(x)-x+2的所有零点之和即为函x-2数f(x)与g(x)=的图像的交点的横坐标之和.7x-2而函数g(x)=的图像也关于点2,0对称.7x-2画出y=fx,g(x)=的图象如图所示．由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f(x)-x7+2所有零点和为7×2=14.学科网(北京)股份有限公司·3·\n110.212．已知a=1.2，b=,c=e(e是自然对数的底数)，则()9A．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．c<b<a【答案】Cx【解析】先证e>x+1(x>0).xx令f(x)=e-x-1x>0，则f(x)=e-1>0x可知fx在0,+∞上单调递增，所以fx>f0=0，即e>x+1(x>0)0.2令x=0.2，则e>1.2，所以a<c；2x1+x-xx再证e<(0<x<1),即证(x+1)e>(1-x)e，1-x-xx令g(x)=(x+1)e-(1-x)e(0<x<1)，x-x则由gx=xe-e>0知:gx在0,1上单调递增2x1+x所以gx>g0=0，即e<(0<x<1)1-x0.211令x=0.1，则e<，所以c<b.91+x2x1+xt-1也可以换元后再判断：令=t，则e<可化为2∙<lnt.1-x1-xt+1二、本题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若(a-c)∥b，则k=________.【答案】5【解析】因为a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，所以a-c=(3-k，-6)．因为(a-c)∥b，所以1×(-6)=3×(3-k)，解得k=5.x+y≥414．已知实数x，y满足约束条件x-y≥0，则z=2x+y的最小值为______.x≤4【答案】6x+y≥4【解析】由约束条件x-y≥0，画出可行域如图所示阴影部分：x≤4yA∙Ox2x+y=0x+y=4x-y=0x=4将目标函数z=2x+y转化为y=-2x+z，平移直线y=-2x，当直线经过点A时，直线在y轴上截距最小，此时，目标函数取得最小值，学科网(北京)股份有限公司·4·\nx+y=4x=2由，解得，所以A2,2x-y=0y=2所以目标函数的最小值为z=2×2+2=6.15．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，⋯，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是【答案】10【解析】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的人数．由茎叶图知，数学成绩大于若等于90的人数为10，因此输出结果为10.22216．已知抛物线C:y=8x及圆M:(x-2)+y=1，过(2，0)的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为y【答案】13A【解析】圆心M(2,0)即为抛物线C的焦点F.所以|AP|+4|BQ|=|AF|-1+4|BF|-1=|AF|+4|BF|-5Ppp由抛物线的定义,|AF|=xA+=xA+2,|BF|=xB+=xB+2Ox22Q所以|AP|+4|BQ|=xA+2+4xB+2-5=xA+4xB+5B2p又易得:xAxB==4,4xA=4所以xA+4xB+5≥2xA⋅4xB+5=13，当且仅当xA=4xB，即时等号成立.xB=1三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.2π117．(本题满分12分)已知函数fx=3sinωxcosωx+sinωx，其中0<ω<6，且f12=2．(1)求函数fx的单调递增区间；学科网(北京)股份有限公司·5·\nππ5(2)若θ∈12,6，且fθ=6，求sin2θ的值．【解析】31-cos2ωxπ1(1)∵fx=2sin2ωx+2=sin2ωx-6+2，πππ11∴f12=sin6ω-6+2=2，ππ∴ω-=kπk∈Z，66解得：ω=1+6kk∈Z又0<ω<6，∴ω=1.π1∴fx=sin2x-6+2πππππ令-+2kπ≤2x-≤+2kπk∈Z，解得：-+kπ≤x≤+kπk∈Z26263ππ∴fx的单调递增区间为-6+kπ,3+kπk∈Z.π15π1(2)由(1)知：fθ=sin2θ-6+2=6，∴sin2θ-6=3；πππππ22当θ∈12,6时，2θ-6∈0,6，∴cos2θ-6=3，∴sin2θ=sin2θ-π+π66ππππ=sin2θ-6cos6+cos2θ-6sin6132213+22=×+×=.3232618．(本题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形．E、Q分别是PB,BC的中点，△QCD是边长为1的正三角形.(1)证明：AB⊥DE;(2)若PD=2,求点E到平面PDQ的距离.PEDCQAB【解析】(1)由题意知,QC=QD=QB=1，从而∠EQB=120°,22BD=1+1-2×1×1×cos120°=3.222于是CD+BD=BC，即CD⏊BD.由于AB//CD，故AB⏊BD⋯⋯⋯⋯⋯⋯①学科网(北京)股份有限公司·6·\n又,PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB⋯⋯②由①②知:AB⏊平面PBDP因为DE⊊平面PBD,故AB⊥DE.(2)利用等积法求解:VE-PDQ=VQ-PDE.设点E到平面PDQ的距离为h，则111VE-PDQ=∙S△PDQ∙h=∙PD×DQ∙hED332C111=××2×1×h=h32311111Q而VQ-PDE=∙S△PDE∙CD=∙S△PDB∙CD3232211113=×××2×3×=AB3222121333所以h=，解得:h=，即点E到平面PDQ的距离为．[其他方法请酌情判分]3124419．(本题满分12分)随着经济的高速发展，南昌市居住环境及人文环境进一步得到改善．目前已基本依水建成赣江西岸绿道、赣江东岸绿道、乌沙河绿道、玉带河桃花河绿道、抚河故道绿道、幸福渠绿道、艾溪湖瑶湖绿道等城市主干绿道．新建提升20个公园，精心打造100条景观路，织起一张“四横七纵六环”的“绿道网”．另外，位于凤凰洲赣江边的省文化中心的建成已成为展示江西历史文化的地标建筑．省文化中心由省博物馆、省图书馆、省科技馆三馆组成，三个主体建筑由北向南排列，分别隐喻历史、现在与未来，反映出文化发展的路径，描述了探索知识的故事与旅程．作为江西省文化的新地标、城市的新客厅，成为加快推动江西文化强省建设的一个亮丽缩影，成为丰富江西省人民群众精神文化需求的重要阵地．(1)相比老年人而言，青年人更喜欢在闲暇时间选择去省文化中心参观、学习．已知某区青年人的男女比例为3:2，现采用分层抽样的方法从中抽取100名作为样本，对这100位青年是否在闲暇时间去省文化中心进行统计，得条形图如下所示．y(频率)男女合计0.4去省文化中心0.25不去省文化中心O去文化中心不去文化中心x合计男女完成下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关？(2)现有甲、乙、丙、丁四位青年人，他们每个周末都选择去省文化中心，将他们想去的场馆情况汇总如下：场馆图书馆科技馆博物馆意向甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁若每人只能从已登记的选择意向中随机选取一个场馆，且每个场馆至多有两人选择，求甲、学科网(北京)股份有限公司·7·\n乙两人选择去同一个场馆的概率.2nad-bc2附：K=，其中n=a+b+c+d．a+bc+da+cb+d2PK≥k00.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【解析】(1)由条形图知男性共60人，女性共40人，去省文化中心男性有40人，去省文化中心女性25人，完成2×2列联表如下：男女合计去省文化中心402565不去省文化中心201535合计60401002100×(20×25-40×15)2计算：K=≈0.183<2.70660×40×35×65所以，没有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关．(2)分两种情况来考虑：4人分别去其中的两个场馆、4人分别去三个场馆．我们将所有的情况列举如下：序号图书馆科技馆博物馆1甲丙乙丁2乙丙甲丁3甲乙丙丁4甲丁乙丙5甲乙丙丁6甲丙乙丁7甲乙丁丙8甲丙乙丁9甲丙丁乙10乙丙甲丁11丙甲乙丁12乙甲丁丙13丙甲丁乙14甲乙丁丙15甲丁乙丙16甲乙丙丁17乙甲丙丁18丙甲乙丁42共有18种选择，其中甲、乙选择同一个场馆的有4种，故概率为=.189x220.(本题满分12分) 已知函数f(x)=e-ax(e是自然对数的底数,a∈R).(1)设f(x)的导函数为f′(x),试讨论f′(x)的单调性；3(2)当a=e时,若x0是f(x)的极大值点,判断并证明f(x0)与e大小关系.4【解析】x2x(1)∵f(x)=e-ax，∴f′(x)=e-2ax学科网(北京)股份有限公司·8·\nxx令f′(x)=e-2ax=g(x)，则g′(x)=e-2a.x①若a≤0，则g′(x)=e-2a>0，所以单调递增；②若a>0，则当x∈(-∞,ln2a)时，g′(x)<0，所以g(x)所以单调递减；当x∈(ln2a,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增；综上，当a≤0时，f′(x)在(-∞,+∞)↗;当a>0时，f′(x)在(-∞,ln2a)↘，在(ln2a,+∞)↗.(2)由(1)知，当a=e时，f′(x)在(-∞,ln2e)↘，在(ln2e,+∞)↗11∵f′(ln2e)=2e(1-ln2e)<0，且f′(0)=1>0，f′()=e2-e<0，f′(4)=e4-8e>02f(x)1x02ln2ex1ox1故f′(x)存在两个零点x0,x1且x0∈(0,)，x1∈(ln2e,4)．f′(x)的符号及f(x)的单调性如下表2所示：x(-∞,x0)x0(x0,x1)x1(x1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大↘极小↗由于x是f′(x)的一个零点，故f′(x)=ex0-2ex=0，所以ex0=2ex0000于是，f(x)=ex0-ex2=2ex-ex2=e(-x2+2x)000000123∵x0∈(0,)，∴0<-x0+2x0<2423e所以f(x0)=e(-x0+2x0)<.42y2x321．(本题满分12分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点A、B分别是其a2b2225右顶点和上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为.5(1)求椭圆C的标准方程；1(2)设斜率为-的直线l与椭圆的两个交点（自上至下）分别为C、D，问：直线BC与AD2的斜率之积是否为定值？若是，求出其大小；若不是，说明理由．【解析】c3242(1)由题意知，e==，所以a=ca2322222而a=b+c，所以a=4b⋯⋯⋯⋯⋯⋯①学科网(北京)股份有限公司·9·\nxy直线AB的方程为+=1，即bx+ay-ab=0abab25所以d==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②a2+b2522由①②解得：a=4,b=1.2x2所以椭圆的标准方程为：+y=1.42x2(2)由(1)得椭圆的标准方程为+y=1，A(2,0)，B(0,1).4y=k2x+1直线BC的方程为y=k2x+1，与椭圆的方程联立：x2，2+y=1422化简得(1+4k2)x+8k2x=022-8k21-4k2-8k21-4k2解得xC=2，yC=2，即C2，21+4k21+4k21+4k21+4k2y=k1(x-2)同理，直线AD的方程为y=k1(x-2)．联立x2，2+y=142222化为(1+4k1)x-16k1x+16k1-4=0，22216k1-48k1-2-4k18k1-2-4k1∴2xD=2，解得xD=2，yD=2，∴D2，2，1+4k11+4k11+4k11+4k11+4k1yC-yD1∴kCD==-，xC-xD22222化为1-16k1k2+2k1-2k2+8k1k2-8k2k1=01∴k1k2-4(4k1k2-2k2+2k1+1)=01∴k1∙k2=,为定值．41解法二：设直线l的方程为y=-x+m，C(x1,y1),D(x2,y2)2y=-1x+m222由x2化简得：2y-2my+m-1=024+y=1∴y1+y2=m∴x1x2-2x1=(2m-2y1)(2m-2y2)-2(2m-2y1)2=4y1y2-4m(y1+y2)+4y1+4m-4m22=4y1y2-4m+4y1+4m-4m=4y1y2+4y1-4m=4y1y2-4y2y1-1y2y1y2-y2y1y2-y21∴k1k2=∙===.x1x2-2x1x2-2x14y1y2-4y242x12+y1=14解法三：设C(x1,y1),D(x2,y2)，则由2得：x224+y2=1学科网(北京)股份有限公司·10·\n(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=04y1-y2x1+x21所以kCD==-=-⇒x1+x2=2(y1+y2)⋯⋯①x1-x24(y1+y2)2y1-y21又，由=-得x1-x2=2(y2-y1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x1-x22由①②得:x1=2y2,x2=2y1y1-1y2y1y2-y2y1y2-y21∴k1k2=∙===.x1x2-2x1x2-2x14y1y2-4y24(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]2x=-t222. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，xy=1+2t2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P的直角坐标为0,1，l与曲线C交于A,B两点，求PA+PB.2x=ρcosθ2222【解析】(1)由ρ=4sinθ得ρ=4ρsinθ，又，所以x+y=4y．即x+y-4y=0．y=ρsinθ222(2)把直线参数方程代入方程x+y-4y=0，得t-2t-3=0，t1+t2=2,t1t2=-3，由于t1t2=-3<0，所以t1,t2异号．22PA+PB=t1+t2=t1-t2=(t1+t2)-4t1t2=(2)-4×(-3)=14．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数fx=x-4+1-x,x∈R.(1)解不等式：fx≤5;11(2)记fx的最小值为M，若正实数a,b满足a+b=M，试求：+的最小值.a+2b+1【解析】(1)x≥4时，不等式为x-4+x-1≤5，x≤5，所以4≤x≤5，1≤x<4时，不等式为4-x+x-1=3≤5恒成立，所以1≤x<4，x<1时，不等式为4-x+1-x≤5，x≥0，所以0≤x<1，综上不等式的解为0≤x≤5，即解集为[0,5]；(2)x-4+1-x≥x-4+1-x=3，当且仅当1≤x≤4时等号成立，所以M=3，因为a>0,b>0，11111111所以a+2+b+1=6(a+b+3)a+2+b+1=6[(a+2)+(b+1)]a+2+b+11a+2b+11a+2b+12=62+b+1+a+2≥62+2b+1×a+2=3a+2b+1当且仅当=，即a=1,b=2时等号成立．b+1a+2112所以，+的最小值是．a+2b+13学科网(北京)股份有限公司·11·
