高三三模检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.(0，2]B.(0，2)C.(1，2)D.(1，2]【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的交集运算的定义求.【详解】不等式的解集为，不等式的解集为，故，，所以，故选：C.2.已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式，再求其共轭复数即可.【详解】，所以z的共轭复数为，故选：B.3.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）\nA.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对称性可得结合条件可求，再由求解.【详解】因随机变量服从正态分布，由对称性可知，，又，所以，故.故选：A.4.已知对数函数的图象经过点，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数的图象过点，可求出的值，代入、、即可比较出三个数的大小关系.【详解】对数函数图象经过点，则，所以，，，，因此，.故选：D\n5.已知双曲线（，）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出的坐标，再由列方程求双曲线的离心率.【详解】由已知双曲线的右焦点的坐标为，虚轴的上端点B的坐标为，左顶点A的坐标为，所以，又，所以，故，即，所以，又，所以双曲线的离心率，故选：D.6.已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可.\n【详解】∵，∴，∴，∴函数为奇函数，又，当时，函数单调递增，单调递减，所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以函数在上单调递增，由可得，所以，故，由可得，所以，所以，所以“”是“”的充要条件，故选：C.7.已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由递推关系判断数列为等比数列，再由等比数列通项公式求.【详解】因为对任意的m，，都有，所以，，\n又，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C.8.如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为（）A.B.24πC.D.【答案】B【解析】【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，所以外接圆的圆心为的中点，且连接与的中点，则，所以平面，设球的球心为，由球的截面性质可得在上，设，，半径为，\n因为，所以，所以，又所以，因为，所以，所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知a，，，且，则下列说法正确的为（）A.ab的最小值为1B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可.【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，故ab的最大值为1，A错，，当且仅当时等号成立，B对，，当且仅当时等号成立，C对，\n，当且仅当，时等号成立，D错，故选：BC.10.已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为0C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，，，，A，B正确；\n表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，因为可化为，故可设，，所以，所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为πB.函数的对称轴方程为（）C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D.方程在[0，10]内有7个根【答案】ACD【解析】【分析】先对函数化简变形，再利用正弦函数的性质逐个分析判断即可【详解】，\n对于A，函数的最小正周期为，所以A正确，对于B，由，得，所以函数的对称轴方程为，所以B错误，对于C，的图象向右平移，得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以C正确，对于D，由，得或，得或，由，得，由，得，所以方程在[0，10]内有7个根，所以D正确，故选：ACD12.已知函数（）有两个不同的零点，，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（）A.a的取值范围为B.a的取值范围为C.D.若，则a的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求a的取值范围，由此判断A，B，结合零点存在性定理判断C，D.\n【详解】函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾，当时，由可得或（舍去），当时，，函数单调递增，当，，函数单调递减，因为函数有两个不同的零点，可得所以，所以，所以，B对，不妨设，因为，，所以，，当时，，则，当时，则所以，当时，，此时，，C错，因为，若则，，，\n所以，，，所以，所以，若，则，，，且所以，，所以，所以，又，所以，所以，故满足条件的不存在，所以a的取值范围为，D对，故选：BD.【点睛】函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则________．【答案】-2【解析】【分析】利用，，即可求出答案.【详解】故答案为：-2.14.已知函数，则________．\n【答案】##【解析】【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.【详解】∵∴，故答案为：15.如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝________，的最小值为________．【答案】①.##0.25②.【解析】【分析】用表示出与，利用两个向量共线可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.【详解】因为,所以而因为与为非零共线向量,故存在实数使得故所以\n的面积为，所以当且仅当时等号成立,故的最小值为;故答案为：；.16.从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．【答案】【解析】【分析】设，，，，，，由直线的倾斜角为，可得，利用导数分别求出过，的切线方程，可得，是方程的两个根，利用根与系数的关系可得，从而可得出答案．【详解】解：抛物线的准线l：，设，，，，，，则，又，，，则，由，得，，切线的方程为，切线的方程为，\n即切线的方程为，即，切线的方程为，即，点，在切线、上，，，可知，是方程的两个根，，得，即P点的横坐标为.故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．（1）求B；（2）若D为AC的中点，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求解；（2）由题可得，则可求得，即可得出面积.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，即，所以，又，．【小问2详解】\n由题知，AB＝4，BD＝2，，因为D为AC的中点，所以，所以，整理得，所以a＝4，所以的面积为．18.已知数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）（2）不能；理由见解析【解析】【分析】(1)利用数列的通项与前项和的关系化简条件可得数列的递推关系，再证明数列为等比数列，并由等比数列通项公式求数列通项，(2)利用反证法结合等差数列的定义证明.【小问1详解】∵，∴n＝1时，，∴；当时，，所以，∴，即（）∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列，∴．【小问2详解】若，有，，成等差数列，则即，整理得，\n又k，m，且∴，，所以，与矛盾，所以数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列．19.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE将折起，使点A到达点F的位置，且．（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（2）若直线DF与平面BCDE所成的角的正切值为，求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BF⊥平面BCDE，再由面面垂直的判定定理证明平面BFC⊥平面BCDE；(2)由线面角的定义结合条件求出AD，建立空间直角坐标系利用向量方法求二面角的大小.【小问1详解】AE＝EF＝2，EB＝1，，所以，所以，所以BF⊥BE，又因为DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB．又，所以DE⊥平面BEF，\n因为平面BEF，所以BF⊥DE，因为EB，平面BCDE，，所以BF⊥平面BCDE，又平面BFC，所以平面BFC⊥平面BCDE；【小问2详解】设AD＝a，则，由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角，所以，所以，解得，以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），，∴，，设为平面DFC一个法向量，则，即，令，则z＝2，所以，由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，过B引EF的垂线交EF于M，则BM⊥平面DEF，求得，则为平面DEF的一个法向量．\n所以，所以平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为．20.某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会．每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，不可继续抽奖，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小明购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，，，选择继续抽奖的概率均为，且每次是否抽中互不影响．（1）求小明第一次抽中，但所得奖金归零的概率；（2）设小明所得奖金总数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】(1)利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式求解；(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，根据期望公式求其期望.【小问1详解】记小明第i次抽中为事件，（i＝1，2，3），则有，，，并且，，两两相互独立，记小明第i次抽中后选择继续抽奖为事件，则，小明第一次抽中但奖金归零记为事件A，则A的概率为．【小问2详解】\n小明所得奖金总数为随机变量X，则X＝0，10，30，60，，，，随机变量X的分布列为：X0103060P随机变量X的数学期望为．21.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由条件列方程求出，由此可得椭圆标准方程；(2)先计算当直线的斜率不存在时的值，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时，结合直线与圆相切的条件证明为定值．【小问1详解】\n由题意得，，可得，b＝2，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】当切线l的斜率不存在时，其方程为，当时，将代入椭圆方程得，∴，，，∴当时，同理可得，当切线l的斜率存在时，设l的方程为，，，因为l与相切，所以，所以由，得，∴，，∴，∴或∴\n∴综上，为定值．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数，．（1）若函数是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝0时，设函数，证明：恒成立．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知在上恒成立，进而进行分参得到，然后通过导数方法求出的最大值即可得到答案；（2）分和进行讨论，然后通过导数方法并结合三角函数的有界性得到函数的单调区间，进而证明问题.【小问1详解】因为函数为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.\n令（x＞0），则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴．【小问2详解】当a＝0时，，.当时，，设，则，∴单调递增，∴，∴当时，恒成立．当时，设，则，∵，∴，，，∴，单调递增.∴.∴当时，，单调递增，∴，即当时，恒成立.综上，恒成立．【点睛】本题第（2）问较难，且方法比较巧妙，一般来讲，象涵盖指（对）数函数和三角函数的超越函数通常都要分段，并会利用到三角函数的有界性，平常注意对此种题型的归纳总结.
