参照秘密级管理★启用前高三仿真试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则A．B．C．D．4．若球的半径为，一个内接圆台的两底面半径分别为和（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为A．B．C．D．5．如图在中，，为中点，，，，则高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\nA．B．C．D．6．已知，且，则A．B．C．D．7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是A．B．C．D．8．正边形内接于单位圆O，任取其两个不同顶点，则的概率是A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双曲线上，则该双曲线的离心率可为A．B．C．D．10．已知复数，满足，下列说法正确的是A．若，则B．高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\nC．若，则D．11．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A．事件与事件相互独立B．C．D．12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是A．的图像关于对称B．C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则___________．14．设．若，则__________．15．设随机变量，满足．若，则_____．16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________（第一空2分，第二空3分）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．18．（12分）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．（12分）某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种．方案一：每满万元，可减千元；方案二：金额超过万元（含万元），可摇号三次，其规则是依次从装有个幸运号、个吉祥号的一号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的二号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号．其优惠情况为：若摇出个幸运号打折；若摇出个幸运号打折；若摇出个幸运号打折；若没摇出幸运号不打折．（1）若某型号的车正好万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；（2）若你朋友看中一款价格为万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案．高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n20．（12分）已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在之间），若为线段上的点，且满足，证明：．22．（12分）已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的切线方程为，其中高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n为自然对数的底数．（1）当时，比较与的大小；（2）若，且，证明：．高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n参照秘密级管理★启用前高三仿真试题数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．C；4．A；5．C；6．C；7．B；8．B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD；10．BD；11．BD；12．BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．；14．；15．；16．，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：因为所以………2分设函数的周期为，由题意可知，即解得…………………………………………………………3分因此函数的解析式………………………4分（2）由可得,即，解得，因为，所以………………………………………………5分因为角的平分线交于，所以,………6分即可得，………………………………………………………8分由余弦定理得：，，可得因此.………………………………………………10分18．（12分）解：（1）设等差数列的公差为，由得：；整理得…………………………………………………………1分高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n因为，，成等比数列所以故（舍去），或，……………………………………………3分又由解得，，满足条件．故．…………………………………………………4分（2）由（1）得，…………………………………………5分所以…………………………………………………6分所以，所以……………………………7分则…………………………8分两式相减得：……………………………………………………11分所以…………………………………………………12分19．（12分）解：（1）要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A，则………………………………………………2分故所求的概率………………………4分（2）若选择方案一，则需要付款（万元）…………5分若选择方案二，设付款金额为万元，则…………6分高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n，，，，故的分布列为…………………………………10分所以（万元）………11分所以选方案二划算．………………………………………………12分20．（12分）解：（1）因为，，为的中点，所以，且，………………………………………1分又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，………………………………………2分因为平面，所以，所以，因为，所以平面，…………………………………3分所以，所以四边形为矩形．…………………………………4分（2）由（1）可知，平面，，所以三棱锥的体积，当且仅当时等号成立，此时，，………………………6分据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．………………………………………………7分由已知可得下列点的坐标：，，，，所以，，设平面的法向量为高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为，……………………………10分因为是平面的法向量，设平面与平面夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．………………………12分21．（12分）解：（1）由题设可知，，即，……1分因为，，所以，，……………2分所以，，，………………………………………3分所以椭圆的标准方程为．…………………………………4分（2）由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，联立，得，，……………5分，即，所以，，……………………………7分设点，因为，所以，即，所以，…………9分所以，，………………………………………10分因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n所以（或者说明），即，………………………………………11分因为为的一个外角，所以．……………………………12分．22．（12分）解：（1）令，因为所以函数的两个零点分别是，，…………………………1分，所以，…………………………2分所以曲线在点处的切线方程为，…………………3分所以，………………………4分若，则，即．…………………………5分（2），所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，…………………………………………………6分，，，所以在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，即，即当时，，………………………………………………7分设的正根为，则，所以，因为是增函数，，即，结合（1），设的根为，则，高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司\n因为为减函数，，所以，…………………………………………………8分所以，……………………9分设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，………………………………………………10分，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，…………………11分所以，所以…………………12分高三数学试题第12页（共12页）学科网（北京）股份有限公司
