2020年兰州一中高考数学模拟试卷2（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（ ）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若非零实数a，b满足，则下列式子一定正确的是（ ）A．b＞aB．b＜aC．|b|＜|a|D．|b|＞|a|4．已知α为锐角，，则＝（ ）A．B．C．2D．35．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A．s＞3？B．s＞5？C．s＞15？D．s＞10？6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足，则的取值范围是（ ）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（ ）A．16B．15C．14D．138．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x\n+2）＜5的解集为（ ）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）A．B．C．D．10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A．B．C．D．11．已知函数，若方程的解为，则＝（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．的展开式的常数项是 ．14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝ ．15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 ．16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC\n外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．18．(12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若．19．（12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，年龄（单位：岁）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]保费（单位：元）x2x3x4x5x（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值x0；（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y\n的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（12分）已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线交于两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．转化为直角坐标方程；[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．（1）求m的值；\n（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．2020年兰州一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（C ）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（ B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（C ）A．b＞aB．b＜aC．|b|＜|a|D．|b|＞|a|4．已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（ D ）A．B．C．2D．35．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ D ）A．s＞3？B．s＞5？C．s＞15？D．s＞10？6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（ D ）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（A ）\nA．16B．15C．14D．138．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（ C ）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（A ）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝110．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ D ）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（ B ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ B ）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（x2+2）（）5的展开式的常数项是 3 ．14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝ ．\n15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 （0，+∞） ．16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 10π ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC1．∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1．∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面AA1C1C．又∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C．∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，∴A1C⊥AB1．（2）取A1C1的中点为M，连结CM．∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，∴CM⊥A1C1，CM⊥AC．又∵CM⊥BC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图．设CB＝1，AC＝2CB＝2，AA1＝AC，∠A1AC＝60°，\n∴C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（﹣1，1，）．由（1）知，平面C1AB1的一个法向量为＝．设平面ABB1的法向量为，则并且，∴．令x＝1，得，即＝．∴＝＝＝，∴二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值为：．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若．【解答】解：（1）\n19．某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，年龄（单位：岁）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]保费（单位：元）x2x3x4x5x（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？【解答】解：（1）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．保险公司每年收取的保费为：10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，\n解得x≈29.85，∴x0＝30．（2）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．P（X＝150）＝，P（Y＝2150）＝．∴E（X）＝＝147+43＝190元．②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．∵P（Y＝0）＝，P（Y＝12000）＝，所以E（Y）＝＝240元，所以E（Y）＞E（X）．∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．20．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【解答】解：(1)设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得\n因此21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值【解答】解：（1）由题意可知，x＞0，，方程﹣x2+x﹣a＝0对应的△＝1﹣4a，当△＝1﹣4a≤0，即时，当x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（2分）当时，方程﹣x2+x﹣a＝0的两根为，且，此时，f（x）在上f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，在上f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；…（4分）当a≤0时，，，此时当，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；…（6分）综上：当a≤0时，，f（x）单调递增，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（7分）（2）原式等价于（x﹣1）a＞xlnx+2x﹣1，\n即存在x＞1，使成立．设，x＞1，则，…（9分）设h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．又h（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，h（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，根据零点存在性定理，可知h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，设该零点为x0，则x0∈（3，4），且h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即x0﹣2＝lnx0，∴…（11分）由题意可知a＞x0+1，又x0∈（3，4），a∈Z，∴a的最小值为5．…（12分）．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．转化为直角坐标方程；【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为参数），得曲线C1的普通方程为，由曲线C2的极坐标方程ρ＝2cosθ，得C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；（2）曲线C1化为极坐标方程为，\n设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，∴，由知，，∵，∴或，∴或[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．（1）求m的值；（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为（﹣∞，4]，∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．（2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a＞0，b＞0，c＞3，，当且仅当a+1＝2b+2＝c﹣3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为32.
