2020年兰州一中高三数学模拟试卷（一）文科数学（考试时间：120分钟试题满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，则AÇB的子集个数为()A．2B．4C．8D．162．已知复数满足，则的虚部为()A．B．C．D．13．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升.其中错误的结论的个数为()A.0B.1C.2D.34．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A．B．C．D．5．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则该数列公比为()A．B．C．2D．46．已知函数（e为自然对数的底数），若，，\n，则()A．B．C．D．7．设tana=，cos(p+b)=-（bÎ（0，p）），则tan(2a-b)的值为()A．B．C．D．8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.直线MN与平面ABCD所成角为45°D.异面直线MN与DD1所成角为60°9．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A．B．C．D．10．已知线段AB=4，E，F是AB垂直平分线上的两个动点，且，则的最小值 A．B．C．0D．311．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点.是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点.若,且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A.30pB.41pC.30p\nD.64p第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“”为假命题，则实数的取值范围是____________．14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(nÎN+)，则S2020=.15．设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B、D两点，若∠BFD=120°,DABD的面积为，则p=.16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，当xÎ[0,1]时，f(x)=R(x)，则______.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。)（一）必考题：共60分。17.（本小题12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了人进行问卷调查，得到这人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；（2）请计算这位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为分的居民中随机抽取人，求恰有人成绩超过分的概率．\n18．（本小题12分）函数f(x)＝Ａsin(wx+j)(A>0，w>0，0<j<p)的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+).（1）求函数g(x)的单调增区间；（2）设DABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又c=，且锐角C满足g(C)=-1，若sinB=2sinA，，求DABC的面积.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离．20.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆()的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1，BF1的中点分别为E，F，△OEF的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设△ABF2的重心为G，若，求直线l的方程．21.（本小题12分）已知函数.（1）求的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23\n题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22．（本小题10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）若点A(2,0)在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a>1，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且|PQ|的最小值为，求a的值．23．（本小题10分）【选修4—5：不等式选讲】（1）解不等式|2x-1|+|x+2|≥3；（2）设a，b，c>0且不全相等，若abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6．兰州一中2020届高三冲刺模拟试题解析（1）数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合，，则AÇB的子集个数为()A．2B．4C．8D．16\n【解答】，1，，，，，的子集个数为个．故选：．2．已知复数满足，则的虚部为()A．B．C．D．1【解答】，，，复数的虚部为．故选．3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升其中错误的结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故③正确。∴错误结论的个数为0，故选A.4．我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是()A．B．C．D．【解析】由图像得函数的定义域为，排除B,C.由排除A.故选：D.5．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则该数列公比为()A．B．C．2D．4\n【解答】解：正项等比数列中，，可得，，即，，，成等差数列，可得，即，解得，故选：．6．已知函数（e为自然对数的底数），若，，，则()A．B．C．D．【解析】因为，，，∴又在R上是单调递减函数，故.故选:D.7．设tana=，cos(p+b)=-（bÎ（0，p）），则tan(2a-b)的值为()A．B．C．D．【解析】，，，，，，，，故选：D.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.直线MN与平面ABCD所成角为45°D.异面直线MN与DD1所成角为60°【解析】如图，连结，，由M，N分别为，的中点知\n，选项A、B、C均正确；而为异面直线与所成角，应为45°.故选D.9．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A．B．C．D．【解析】设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选：B．10．已知线段AB=4，E，F是AB垂直平分线上的两个动点，且，则的最小值()A．B．C．0D．3【解答】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示坐标系；则，，设则；，；；当时，的最小值为；故选：．方法二：11．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点.是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点.若,且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．\n【解析】由题意，，，又,由余弦定理可得，解得：，得，，综上所述，选B.12．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A.30pB.41pC.30pD.64p【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，、为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过、的平行于底面的中截面上，设球心到截面的距离为，则到的距离为，∴，，解得出：，，该多面体外接球的表面积为：，选B。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“”为假命题，则实数的取值范围是____________．【解析】依据含一个量词命题的否定可知恒成立是真命题,故,解之得,应填答案．14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(nÎN+)，,则S2020=.【解析】∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴周期T=6，则S2020=9.15．设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B、D两点，若∠BFD=120°,DABD的面积为，则p=.\n【解析】∵，，∴，又∵，∴，，∴到准线的距离，∴，解得.16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则______.【解析】由知：关于对称又为奇函数，图象关于原点对称为周期函数，周期,故答案为：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(12分)共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了人进行问卷调查，得到这人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；（2）请计算这位居民问卷的平均得分；\n（3）若在成绩为分的居民中随机抽取人，求恰有人成绩超过分的概率．【解析】（1）依题意，居民问卷得分的众数为，中位数为；（2）依题意，所求平均得分为（3）依题意，从人中任选人，可能的情况为，，，，，，，，，，其中满足条件的为种，故所求概率；18.（12分）函数f(x)＝Ａsin(wx+j)(A>0，w>0，0<j<p)的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+).（1）求函数g(x)的单调增区间；（2）设DABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又c=，且锐角C满足g(C)=-1，若sinB=2sinA，，求DABC的面积.【解析】（1）由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，（每个值1分）即，则…………4分由，，得，，所以函数的单调增区间为………6分（少扣1分）（2）由，得，因为，所以，所以，，\n又，由正弦定理得①．……………8分又，由余弦定理，得，即②．由①②解得，．……………10分所以的面积为。……………12分19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离．【解析】（1）如图，连接．由条件知四边形为菱形，且，∴，∴为正三角形．∵为的中点，∴．又∵，∴．又∵底面，底面，∴．∵，∴平面．（2）设交于点，连接，，则为的中点．易知，则，∴，∴．连接，∵，，∴，，\n∴，，∴．．设点到平面的距离为，又底面，由，得，解得．故点到平面的距离为．20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆()的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1，BF1的中点分别为E，F，△OEF的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设△ABF2的重心为G，若，求直线l的方程．解:(1)，………2分连接，分别为的中点，，，同理，………3分的周长为，，………4分又，，椭圆的标准方程为………5分(2)过点且斜率不为，可设的方程为，设，由得………7分，………8分，又，,即………9分\n………10分令，解得………11分直线的方程为或………12分21.(12分)已知函数.（1）求的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解:(Ⅰ)法一：由，知………1分当时，，，此时………3分当时，，，此时………4分在上单调递减，在上单调递增………5分法二：由，知………1分令()，则，在上单调递增………3分，当时，；当时，………4分在上单调递减，在上单调递增………5分(Ⅱ)不等式等价于………7分令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减………9分又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最小值………11分，故实数的取值范围是………12分\n22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）若点A(2,0)在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a>1，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且|PQ|的最小值为，求a的值．解：（1）直线的参数方程为为参数，．点在直线上，所以把点代入直线的参数方程，解得．所以，转换为极坐标方程为．（2）曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：．转换为参数方程为为参数），直线的参数方程为为）参数转换为直角坐标方程为，整理得：，所以：，\n所以当时，，解得：．23．(10分)（1）解不等式|2x-1|+|x+2|≥3；（2）设a，b，c>0且不全相等，若abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6．解：（1）原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是；（2）证明：，，，，同理，，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故．
