新余市2021—2022学年高三第二次模拟考试数学试题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数，且，则（）A．B．C．1D．23．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（）A．B．C．D．4．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）A．B．C．D．5．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中常数项为（）A．90B．135C．D．6．已知命题p：，；命题q：，．则下列命题中为真命题的是（）\nA．p且qB．且qC．p且D．且7．设等差数列的前n项和为，且，，则当最大时，（）A．1011B．1010C．1009D．10128．已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，3）D．9．三棱锥的体积为，底面ABC，且的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．10．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为（）A．B．C．D．11．若存在两个正数x，y，使得不等式成立，其中，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；\n④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）13．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________．14．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是___________．15．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为3和1，球心距离，截面分别与球，球切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于___________．16．右图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则______；P是平面图形边上的动点，则的取值范围是___________．（本题第一空2分，第二空3分）．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分12分）\n在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且_________．（1）求角C的大小；（2）若，求AB的中线CD长度的最小值．18．（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上的点且．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为，参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为P，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望：（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．20．（本小题满分12分）已知双曲线．\n（1）过点的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；（2）直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性：（2）设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．选做题：（本小题满分10分）．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）直线l和曲线C相交A，B两点，若，且，求直线l的方程．23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求满足不等式的最大整数a；（2）在（1）的条件下，对任意，若，求的最小值．新余市2021-2022学年高三第二次模拟考试数学试题参考答案（理科）\n一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BDCABBBCBACB二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．1114．15．16．1和三、解答题17．（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得；因为，所以，选择条件②：由及正弦定理，得：，即．即．在中，，所以，即，因为，所以，所以因为，所以，选择条件③：由及正弦定理，得：，因为，所以．在中，，则，故因为，所以，则，故\n（2）因为，所以，整理得，在三角形ABC中，由余弦定理得；因为，当且仅当时取等号，所以，即所以，即，即CD长度的最小值为（也可转化为平面向量解答）18．（1）在直三棱柱中，侧面为正方形，所以，，而，，，平面，所以平面，所以平面，平面，所以，故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，如图：，，，，∴，∴所以，即；方法二：在正方形中．∵．∴又∵，∴．∴．又∵，．∴平面\n又∵平面．∴（2）由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则，即令，则，则．设平面的法向量为，则即则，令，则，则故设二面角的平面角为，结合图形，为锐角，故19．（1）X可取5，6，7，8，9，10，，，，，\n，，分布列如下：X5678910P所以（分）；（2）解：设一天得分不低于3分为事件A，则，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，（）则．当时，．当时所以函数在递增，在递减所以当时，取得最大值．20．（1）设，，则两式相减得，即若N为ST的中点，则，即直线ST的斜率为1所以直线ST的方程为，即\n联立方程组得，满足，故直线ST的方程为．（2）联立方程组，得，因为，且M是双曲线与直线l唯一的公共点，所以，得，所以点M的坐标为，其中．因为过点M且与直线l垂直的直线为，令，得，令，得，所以，故P的轨迹方程为，其中，P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线去掉两个顶点后的图形．21．（1）因为所以当，，在上单调递增，当，，在上单调递减．（2）令，，则，依题意得实数，满足且不等式恒成立，由及（1）知，法1：不等式恒成立知，所以，∴，\n又函数在单调递减，∴，又，所以，即，两边取对数得对恒成立设，，则①当时，对恒成立，此时在上单调递增，故恒成立，符合题意，②当时，，则，，此时在上单调递减，故，不符合题意．综上所述，所求取值范围是法2：由令（），则，，所以不等式令，依题意恒成立．，①当时，，递增，从而，所以在上递增，故恒成立．\n②当时，由得，所以在上递减，所以，，在上递减．故，，，不合题意．③当时，由，知，不合题意．综上所述，所求取值范围是22．（1）直线l的参数方程为（t为参数，），消去参数t得，，令，，可得曲线C的普通方程是（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，整理得关于t的方程，显然，设点A，B所对应的参数分别为，，由根与系数的关系，得，，所以，由直线参数方程的几何意义得：，，所以，化简得，，∴所以，直线l的方程是23．（1）当时，原不等式可转化为，所以；当时，原不等式可转化为，解得，\n所以当时，原不等式可转化为，解得（舍），综上所述，原不等式的解集为，所以满足不等式的最大整数．（2）由（1）得，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8．
