吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业年级第四次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知集合，，则A．B．C．D．2.设命题：，则命题的否定为A.B.C.D.3．已知，函数，若，则A.B.C.D.4.如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是A.B.\nC.D.5.如图，中，，，点是的三等分点()，则A.B.C.D.6.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则7.已知，两点到直线的距离相等，则A.B.C.或D.或噪声声波两种声波叠加后用来降噪的声波8.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则A.B.C.D.9.在中，所对的边分别为，若且，则是\nA.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形10.对于的展开式，下列说法不正确的是A.有理项共项B.二项式系数和为C.二项式系数最大的项是第项和第项D.各项系数和为11．下列各个函数图象所对应的函数解析式序号为（4）（3）（1）（2）①②③④A.④②①③B.②④①③C.②④③①D.④②③①12.已知直线与双曲线交于两点，轴于点，直线与双曲线的另一个交点为，则下列选项中错误的是A.且B.C.为定值D.的最小值为2第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13．复数的虚部是.14．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是.15\n．为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民.若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成.种不同的“蔬菜包”.16.已知函数的极大值点为，则实数的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为.三、解答题：共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答.已知正项等差数列满足，且成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）已知正项等比数列的前项和为，，，求．注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数（Ⅰ）求抽取的名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，若\n，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”.①若该社区有名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为分的居民能否获得“反诈先锋证书”.附：若，则，，.19.（本小题满分12分）如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）证明：.\n19.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，椭圆：经过抛物线的焦点.（Ⅰ）求抛物线的方程及；（Ⅱ）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于两点，若，点满足，且最小值为，求椭圆的离心率．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形.如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，曲线和圆相交于两点，求．\n23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明：．吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业班第四次调研测试理科数学参考答案数学核心命题组全体老师赠予吉林市高三考生：殷勤苦难三冬长，高考将临学子忙。三角集合铺手路，解析导数问心房。题多练就从容笔，时少遂寻暗夜光。待到明朝捷报至，蟾宫折桂十里芳！一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.123456789101112ABBCBCDCACAD二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.\n13.14.15.16.(2分)，（3分）（16第一空写也对，题第二个空,写区间形式也给分）12.参考结论：已知双曲线方程为：，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则.推导：由得，，则，解析：结论类比：已知椭圆方程为：，是椭圆上关于原点对称的两点，点也在椭圆上，则.16.解析：令，，则\n易知的大致图象为：不妨设将在轴左侧的图象关于轴对称，由图可知，法二：构造函数，则.易知的图象如图所示：在上单调递增，即，即在上单调递减，\n教学建议：已知函数的极大值点为0，则实数的值为；设，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为.答案：；令，，则易知的大致图象为：即，又，恒成立法一：将在轴左侧的图象关于轴对称，由图可知，即法二：且在上单调递减，即两边取对数：设则.\n当时，，在上单调递增，符合题意；当时，令，则，在上单调递减，不符合题意，舍去.综上，三、解答题17.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，1分因为，成等比数列所以，3分解得：或（舍）5分所以.6分（Ⅱ）选择①设等比数列的公比为，因为，，所以，，又，即，所以或（舍），10分所以.12分（Ⅱ）选择②\n设等比数列的公比为，因为，，所以，即所以或（舍）10分所以.12分法二：设等比数列的公比为，因为，，若，则数列为常数列，不符题意；若则，所以或（舍）10分所以12分综上，数列的前项和.（注：不讨论时，直接用公式求解,扣1分.）17.【解析】（Ⅰ）名居民本次竞赛成绩平均分，3分名居民本次竞赛成绩方差\n6分（Ⅱ）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，所以，，可知，，由于竞赛成绩近似地服从正态分布，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率8分9分估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为；10分②当时，即时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为分的居民能获得“反诈先锋证书”.12分17.【解析】（Ⅰ）证明：，又是中点2分平面平面，平面平面，平面平面4分\n（Ⅱ）底面是菱形以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，，，，.，6分（注：其中点坐标可由求得）设平面的法向量是令，则8分假设线段上存在点，且10分平方整理得：或（舍）时，即存在点是中点时，与平面所成角的正弦值是.12分（此处，用左手坐标系，算对给满分）17.【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域是,，1分\n设，则，在上单调递增.3分又，令，则；令，则.在上单调递减，在上单调递增.即的最小值为：.5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即（当且仅当时，等号成立）.令，则，7分①当时，不等式成立；②当时，.所以，，，.......将上式左右两边分别相加得：.10分\n，综上:.12分17.【解析】（Ⅰ）抛物线的焦点到其准线的距离为4可得2分抛物线的方程：3分椭圆经过抛物线的焦点椭圆的右顶点为所以.4分（Ⅱ）设,,6分两点在椭圆上①②7分\n①②可得：即点轨迹方程为10分最小值即点到直线的距离即11分椭圆的离心率为.12分（注：也可设椭圆焦距为2c,先求,再求离心率）法二：①当直线斜率存在时，设直线方程为，，，由得，，，6分，\n，即，8分即又，即点轨迹为直线②当直线斜率不存在时，经检验点在直线上10分17.【解析】（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程：，2分因为点P的直角坐标是，所以所在圆的直角坐标方程为． 5分（注：的极坐标方程不标明的取值范围或写错扣1分）（Ⅱ）设对应的参数分别为．将代入得， 7分所以 8分\n因为，由的几何意义得： 10分17.【解析】（Ⅰ）因为，即，所以，即所以不等式的解集为；5分（注：结论不表示成集合或区间形式扣1分）（Ⅱ）10分法二：10分教学建议：已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明：．解析：（Ⅰ）因为，即，所以，即\n所以不等式的解集为；（Ⅱ）令函数所以，.因为，所以易知函数在上单调递减所以即.法二：，即要证：只需证：即证：①①式成立，即原不等式成立.
