吉林市普通中学2021—2022学年度高三毕业年级第三次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.设集合，，则A．B．C．D．2.下列函数在其定义域上单调递增的是A．B．C．D．3．已知数列的首项，若向量，向量，且满足，则数列的通项公式为A．B.C.D.\n4.二进制数转化为十进制数是A.B.C.D.5.已知两圆方程分别为和，则两圆的公切线有A.条B.条C.条D.条6.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：①矩形②圆③椭圆④部分抛物线⑤部分椭圆A.②③⑤B.①②③④⑤C.①②③⑤D.①②③④7.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围A.B.C.D.8.位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔处北偏东相距的处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西A.B.C.D.9.若椭圆的方程为，则“”是“椭圆的离心率为”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是A.B.C.D.11.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体.如图，棱\n长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则下列说法错误的是A.该几何体外接球的表面积为B.该几何体外接球的体积为C.该几何体的体积与原正方体的体积比为D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小12．已知，，，则A.B.C.D.第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13．已知，则的最小值是.14.抛物线的焦点关于其准线的对称点坐标是.15．中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会.共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家.下面是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是.\n①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多16．已知复数，对于数列，定义为的“优值”.若某数列的“优值”，则数列的通项公式；若不等式对于恒成立，则的取值范围是.三、解答题：共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，，，，.将沿折起得到三棱锥，使得.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点在棱上，，求二面角的余弦值.18.（本小题满分12分）\n在中，内角所对的边分别为且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的内角平分线交边于点，求.19.（本小题满分12分）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台.“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“双人对战”每日首局胜利积分，失败积分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积分，第二、三名积分，第四名积分，第二局第一名积分，其余名次积分，每日仅前两局得分.已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”答题（每日两局）时，第一局得分，分的概率分别为，，第二局得分的概率为.周老师每天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响.（Ⅰ）求周老师每天参加答题活动总得分为分的概率；（Ⅱ）求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分的分布列和期望.20.（本小题满分12分）已知点分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上异于的一个动点，的周长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，直线与椭圆另外一个公共点为，直线与交于\n点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.21.（本小题满分12分）已知函数的极小值为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设函数.①证明：当时，，恒成立；②若函数有两个零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设是曲线上的两点，且，求的值．\n23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设时，函数的最小值为.若实数满足，求的最小值．吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.123456789101112BADBCCABABCD12.解析：当时，由不等式得最大；下面比较和.构造函数，定义域为，则，设，则.易知在上是减函数..即在上是增函数.，即在上是增函数..即.综上，二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，\n第二个空填对得3分.13.14.15.①②④16.(2分)，（3分）（第二个空,写不等式形式也给分）一、解答题17．【解析】证明：（Ⅰ）.又，.即.4分6分（Ⅱ）法一：9分（此处，没有证明过程直接找角，扣2分）11分即二面角的余弦值为.12分（此处，由平面几何知识算对，都给满分）\n法二：以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，，，8分..设平面的法向量为：，则，令，则.又因为平面的一个法向量为：，10分，即二面角的余弦值为.12分（此处，用左手坐标系，算对给满分）(若第一问未证出，第二问直接建立坐标系，其余作答正确，给5分）17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得\n2分，5分（此处，由角之间的关系算对，都给满分）（Ⅱ）方法一：8分10分12分方法二：在中，由正弦定理，在中，由正弦定理，,8分(此处需要证明线段的比例关系，也可以用证明，但此次考试未证明不扣分）\n10分12分方法三：在中，由余弦定理：6分在中，由正弦定理，在中，由正弦定理，,8分(此处需要证明线段的比例关系，也可以用证明，但此次考试未证明不扣分）在中，由余弦定理：设，则即解得或在中，由余弦定理：是钝角\n在中10分（此处，没有舍解的扣1分）12分（其他方法做对，给满分）17．【解析】（Ⅰ）设每天答题活动总得分为分的事件为,事件包含三种情况：参加“双人对战”得分，第一局“四人赛”得分，第二局“四人赛”得分,概率；参加“双人对战”得分，第一局“四人赛”得分，第二局“四人赛”得分，概率；参加“双人对战”得分，第一局“四人赛”得分，第二局“四人赛”得分，概率，则，所以周老师每天答题活动总得分为分的概率.6分（此处，如果直接列给满分.）（少一种情况扣分，少两种情况扣分.）\n（Ⅱ）连续三天参加“双人对战”答题总得分的可能取值为，,,,,10分的分布列为：11分则.12分17．【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2，则，，，，，由得，即2分由的周长为16，得，所以，3分，故椭圆的方程为：\n4分（Ⅱ）设直线的方程：，，(此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情况给1分）联立方程组得，6分恒成立.，即①7分直线的方程：，直线的方程：，8分联立方程组消去，得②9分由①②得11分（其他方法做，x得数对就给分）所以，当点运动时，点恒在定直线上.12分方法二设，，设直线的方程：，直线的方程：\n联立得①6分又两点在椭圆上，因此，，②，因为三点共线，所以，即③8分由②，③得10分将其代入①得11分所以，当点运动时，点恒在定直线上12分【教学建议】1.此题可变式为点在定直线上上，与椭圆的另一个公共点为，与椭圆的另一个公共点为，求证：弦过定点.2.归纳总结：设椭圆，为其对称轴上除中心、顶点外任意一个定点，，为椭圆的左，右顶点，过点引一条直线，与椭圆交于，两点，则，的交点在定直线上.即定点，顶点，交点三点横坐标成等比数列.3.归纳总结：设椭圆的方程：，点在直线上，、\n为其左，右顶点，与椭圆的另一个公共点为，与椭圆的另一个公共点为，则直线过定.17．【解析】(Ⅰ)的定义域为，.1分当时，恒成立，在上单调递增，无极小值；2分当时，令，；令，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的极小值为，即.综上，.4分（Ⅱ）①法一：，.，，由(Ⅰ)知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）.，7分法二：\n由(Ⅰ)知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）.因为，所以所以得证.7分②.当时，，在上单调递增，至多有一个零点.8分当时，.令，；令，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为.设，.令，；令，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.9分当时，，只有一个零点；\n当时，，又，.所以有两个零点；当时，，由①知，当时，对，恒成立，又，所以有两个零点；综上，或12分（此处，不取点分析过程完整不扣分；不分析也不取点的扣2分）17．【解析】（I）由曲线的参数方程（为参数）可得：即曲线的普通方程为3分由，代入上式可得曲线的极坐标方程为即曲线的极坐标方程为5分（结果书写形式不同，也给分）(II)因为，是曲线上的两点且由在曲线上可知：.\n同理在曲线上可知：8分所以10分23.【解析】（I）不等式可转化为：或或解得：或或3分所以不等式的解集为：5分（此处，结果形式错误扣1分）（法二:用绝对值的几何意义求解；法三：利用分段函数图象求解，结果对给满分）(II)由绝对值的三角不等式可得：，当且仅当时等号成立所以函数的最小值即8分由柯西不等式可知：即当且仅当，，时等号成立(注明取“=”条件即可，不求不扣分）\n即的最小值为10分
