河北省五个一名校联盟2023届高三数学摸底考试试题（PDF版带答案）

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学试卷命题单位：邯郸市第一中学（满分：150分,测试时间：120分钟）第I卷（选择题,共60分）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.21.设集合Axx2x80,B2,3,4,5,则AB（）A.{2}B.2,3C.3,4D.2,3,42.已知z2i,则zzi（）A.62iB.42iC.62iD.42i3．已知圆锥的高为1,母线长为6,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）555A.2B.C.D.3234．设0,若函数f(x)2cos(x)在[,]上单调递增,则的取值范围是（）242133A.(0,]B.(1,]C.[0,]D.(0,1]2225．如图,在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()2356A.B.C.D.2233数学试卷第1页(共5页)\n516．已知,且sin2sincos2sin，sin2cos8244343cos2sin,则sin22的值为（）43536536A.B.C.D.99997．若过点(m,n)可以作曲线ylog2x的两条切线,则（）A.mlog2nB.nlog2mC.mlog2nD.nlog2m8．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”,乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”,丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”,丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”,则下列说法正确的有（）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A.1个B.2个C.3个D.4个二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9．有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,现从中有放回的取出5个球并记录取球结果,则下列统计结果中可能取出6号球的是（）A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,极差为2rrrr10．已知a(cosx,sinx),b(cosx,3cosx),函数f(x)ab,则下列选项正确的是()13A.函数f(x)的值域为[,]．2211B.将函数ysinx图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）,再将所得图像向左22平移个单位长度,可得函数f(x)的图像．12数学试卷第2页(共5页)\nC.函数f(x)是奇函数．14D.函数f(x)在区间0，2内所有零点之和为．311．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,P是A1D上的一个动点,下列结论中正确的是（）3A.BP的最小值为2B.PAPC的最小值为22C.当P在直线A1D上运动时,三棱锥B1ACP的体积不变26D.以点B为球心,为半径的球面与面AB1C的交线长为π2321212．已知圆C:x(y)1上两点A、B满足AB2,点Mx0,0满足:MAMB,则下2列结论中正确的是（）1A.当AB2时,x02B.当x00时,过M点的圆C的最短弦长是2312C.线段AB的中点纵坐标最小值是277D.过M点作圆C的切线且切点为A,B,则x0的取值范围是(,][,)22第II卷（非选择题,共90分）三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.xa313．已知函数fx(e)cosx是偶函数,则a______.xe214．设抛物线y42x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B．设C(42,0),AF与BC相交于点D．若CFAF,则△ACD的面积为_____．x15.xR,2e12xa,则a的最大值为______.数学试卷第3页(共5页)\n16.德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时,对1+2+3+……+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的x2和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数f(x),设数x2212n1*n1列{an}满足anf(0)f()f()f()f(1)(nN)，若bn2an,则{bn}的前n项nnn和S_________.n四､解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知正项数列an满足a11,且anan12anan1.(1)求数列an的通项公式;a11nb的前n项和为S,求证:(2)记bn,求数列nnSn.2n13218.(本小题满分12分)某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛,有A,B,C三类问题,每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答,只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.A类问题中的每个问题回答正确得10分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分,C类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,能正确回答C类问题的概率为0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小康按照CBA的顺序答题,记X为小康的累计得分,求X的分布列;（2）相比较小康自选的CBA的答题顺序,小康的朋友小乐认为按照ABC的顺序答题累计得分期望更大,小乐的判断正确吗？并说明理由.数学试卷第4页(共5页)\n19.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b4,在①(bc)(sinBsinC)(sinAsinC)a,②cos2(AC)3cosB1两个条件中任选一个完成以下问题：（1）求B;（2）若D在AC上,且BDAC,求BD的最大值.20.(本小题满分12分)如图,ABCD为圆柱OO的轴截面,EF是圆柱上异于AD,BC的母线.（1）证明:BE平面DEF;（2）若ABBC6,当三棱锥BDEF的体积最大时,求二面角BDFE的正弦值.22xy21.(本小题满分12分)已知双曲线C:221的离心率为2,F1、F2为它的左、右焦点,abuuuruuur点P为双曲线在第一象限上的一点,且满足PF1PF20,PF1PF26.（1）求C的方程;uuruuur（2）过点F2作直线l交双曲线于A,B两点,在x轴上是否存在定点Qm,0,使得QAQB为定值,若存在,求出m的值和该定值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)lnxax(a0).（1）讨论f(x)的零点个数;xf(e)x（2）证明:f().xa数学试卷第5页(共5页)\n河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学参考答案一、单选题1——4:BADD5——8:BBBC二、多选题9.AB10.ABD11.BCD12.CD三、填空题n113.114.3215.116.n2四、解答题17.【解析】(1)数列an中,an0,由anan12anan1,可得112…………………………………………………………………………2分.aan1n1111又1,则数列是首项为1公差为2的等差数列,则12(n1)2n1,a1aa1nn1…………………………………………………4分则数列an的通项公式为an.2n11(2)由(1)知a,则n2n1a1111n…………………………………6分bn(),2n1(2n1)(2n1)22n12n1则数列bn的前n项和11111111………………………8分S(1L)(1),n23352n12n122n1*1111nN,2n13,0,0,2n1332n1211111,Sn.…………………………………………………10分32n13218.【解析】(1)由题可知,X的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分PX010.40.6答案第1页(共7页)\nPX300.410.60.16PX500.40.6(10.8)0.048……………………………………………………5分PX600.40.60.80.192所以X的分布列为X0305060P0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,EX00.6300.16500.048600.19218.72．若小康按照ABC顺序答题,记Y为小康答题的累计得分,则Y的所有可能取值为0,10,30,60PY010.80.2PY100.810.60.32PX300.80.6(10.4)0.288PX600.80.60.40.192………………………………………………………10分所以EY00.2100.32300.288600.19223.36故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(bc)bc(ac)a,………………………2分222222222acbac1即bcaac,即acbac,cosB,……4分2ac2ac2QB(0,),B,……………………………………………………………………5分3若选②Qcos2(AC)3cosBcos2(B)3cosBcos2B3cosB1,…………………2分答案第2页(共7页)\n222cosB13cosB1,即2cosB3cosB20,1即cosB2(舍)或cosB,…………………………………………………………4分2QB(0,),B,……………………………………………………………………5分3(2)QBDAC,BD为AC边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一：由余弦定理得,b216a2c22accosB,由重要不等式得162acacac,当且仅当a=c时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分1所以SABCacsinB43.…….…….…….…….…….…….………………10分24323所以AC边上的高的最大值为1..…….…….…….…….………………12分b2b83法二：由正弦定理得ABC外接圆的直径为2R,.……………………7分sinB3118383利用正弦定理表示面积得:SacsinBsinAsinCsinBABC223318383321632sinAsin(A)sinAsin(A)23323338343sin(2A)43.……………………………………………………10分3634323所以AC边上的高的最大值为1..…….…….…….…….………………12分b220.【解析】(1)证明：如右图,连接AE,由题意知AB为O的直径,所以AEBE.因为AD,EF是圆柱的母线,所以AD∥EF且ADEF,所以四边形AEFD是平行四边形.所以AE∥DF,所以BEDF.因为EF是圆柱的母线,所以EF平面ABE,又因为BE平面ABE,所以EFBE.又因为DFEFF,DF、EF平面DEF,所以BE平面DEF.………………………………………4分(2)由(1)知BE是三棱锥BDEF底面DEF上的高,由(1)知EFAE,AE∥DF,所以EFDF,即底面三角形DEF是直角三角形.设DFAEx,BEy,则答案第3页(共7页)\n22,………………………………………………………………5分在RtABE中有:xy62211166xy6所以VBDEFSDEFBEx6yxy,3326622当且仅当xy3时等号成立,即点E,F分别是»AB,C»D的中点时,三棱锥BDEF的体积最大,…………………………………………………………………………………7分1(另解:等积转化法:VVVVSBC.BDEFDBEFDBCFBCDFCDF3易得当F与CD距离最远时取到最大值,此时E、F分别为AB、CD中点)下面求二面角BDFE的正弦值：法一：由(1)得BE平面DEF,因为DF平面DEF,所以BEDF.又因为EFDF,EFBEE,所以DF平面BEF.因为BF平面BEF,所以BFDF,所以BFE是二面角BDFE的平面角,……9分22由(1)知BEF为直角三角形,则BF(3)(6)3.BE33故sinBFE,所以二面角BDFE的正弦值为.……………………12分BF33法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Exyz,则B(0,3,0),D(3,0,6),E(0,0,0),F(0,0,6).由(1)知BE平面DEF,故平面DEF的法向量可取uuur为EB(0,3,0).设平面BDF的法向量为n(x,y,z),由DF(3,0,0),BF(0,3,6),……………………………………………………8分nDF03x0x0得,即,即,取z1,得n(0,2,1)……………10分nBF03y6z0y2z答案第4页(共7页)\nruurruurnEB236设二面角BDFE的平面角为θ,coscosn,EBruur,nEB3333所以二面角BDFE的正弦值为.………………………………………………12分3c21.【解析】(1)解法一：由e2得：c2a,bc2a23a,auuuruuurQPF1PF20,PF1PF2,在RtVF1PF2中,由PF1PF22a得：222PF2PF24c2,PFPF6得:22PF1PF22PF1PF24a,代入12124c124a2222y解得:b3,a1,双曲线方程为：x1.………………………………………4分3c解法二：由e2得：c2a,bc2a23a,设点Px,yy0,则点Pax2y2uuuruuur222满足1…①,QPFPF0,cx,ycx,yxcy0,2212ab22211即xyc…②,SF1PF2y2cPF1PF2,即yc3…③,2222b222y则由①②得：y,代入③得：b3,a1,双曲线方程为:x1.…………4分c3uuruuur2(2)解法一:当l斜率不存在时,l:x2,此时A2,3,B2,3,QAQB(m2)9，uuruuur2当l斜率为0时,l:y0,此时A1,0,B1,0,QAQBm1；uuruuuruuruuur22若QAQB为定值，则有:(m2)9m1,解得m1,QAQB0.uuruuur下证:当Q为(1，0)时,恒有:QAQB0.；………………………………………………6分当l斜率存在时,设l:ykx2,Ax1,y1,Bx2,y2,ykx22222联立22得3kx4kx4k30,3xy32224k4k3则36k360,x1x22,x1x22,…………………………………8分3k3kuuruuur2QAQBx11x21y1y2x1x2x1x21kx1x22x1x24答案第5页(共7页)\n222k1x1x22k1x1x214k………………………………………………10分222224k324k24k1(k3)2k122k1214k24k10.3k3k3kuuruuur综上所述：存在m1,使得QAQB0；……………………………………………12分解法二：当l斜率为0时,l:y0,此时A1,0,B1,0,由Qm,0得：uuruuur2QAQBm1；………………………………………………………………………6分当l斜率不为0时,设l:xty2,Ax1,y1,Bx2,y2,xty23t21y212ty90,则2联立22得：36t360,3xy312t9y1y22,y1y22,…………………………………………………………8分3t13t1uuruuurQAQBx1m,y1x2m,y2x1mx2my1y222(ty2m)(ty2m)yy(t1)yy(2m)t(yy)(2m)1212121222912t2(12m15)t92(t1)(2m)t(2m)(2m),………………………10分2223t13t13t1uuruuur12m159uuruuur若QAQB为定值,则,m1,Q1,0,此时QAQB0；31uuruuur2当m1,l斜率为0时,QAQBm10；综上所述,存在m1,使得uuruuurQAQB0；………………………………………………………………………………12分lnxlnxlnx122【.解析】(1)令f(x)lnxax0,则a,设g(x),g(x)2xxx当x(0,e)时,g(x)0,x(e,)时,g(x)0,g(x)在(0,e)上单调递减，1在(e,)上单调递增,g(x)g(e),LLLLLLLLLLLLLLLLL2分mineQx0时,g(x);当xe时,g(x)0且x时,g(x)0,LLLLLLL3分11当a时,f(x)无零点,当a或a0时,f(x)有一个零点,ee答案第6页(共7页)\n1当a0时,f(x)有两个零点.LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL5分exatxf(e)xf(e)(2)设t,则f()f(t),LLLLLLLLLLLLLLLLL7分axaatateatlnt即证lntat10(t0)，即证lntate10(t0),tf(x)即证:f(x)e10(x0)，LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL8分xx设h(x)xe1,则h(x)1e,当x(,0)时,h(x)0,当x(0,)时,h(x)0,h(x)在(,0)单调递减,h(x)在(0，)单调递增,h(x)h(0)0，LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL10分x1xe10,当且仅当x0时""成立,由(1)知,当a时,存在x,0e使得f(x)0LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL11分0xf(x)f(e)xf(x)e10,f().LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL12分xa答案第7页(共7页)