鄂州市2021~2022学年度下学期期末质量监测高二数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接由并集定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D.2.已知一组数据，且的线性回归方程为，若，则（）A.50B.250C.490D.500【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心，即可求解.【详解】因为，所以，所以\n，所以．故选:D．3.曲线：在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，所以切线方程为，即，选A4.已知随机变量，则（）（参考数据：，，）A.0.8185B.0.84C.0.1587D.0.9759【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特定区间的概率公式求解．【详解】由题意，，12＝，，，，所以，故选：B．5.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】\n【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为，，，所以.故选：D.6.年月开始，奥密克戎变异毒株在上海爆发，为支援上海抗击新冠肺炎疫情，湖北在行动，“鄂”来守“沪”．湖北某医院迅速从名男医生、名女医生中选名医生组成一个援助小分队，若要求小分队男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】对小分队内的女医生人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果.【详解】当小分队中有名女医生时，有种组法；当小分队中有名女医生时，有种组法.综上所述，共有（种）组队方案，故选：C．7.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大.假设李某能力较强，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人组成的团队也在研究项目M，团队成员各自独立地解决项目M的概率都是0.4.如果这个n人的团队解决项目M的概率为，且，则n的取值不可能是（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目M的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可.【详解】由题意，这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为，所以，\n由可得，即，两边取常用对数可得：，即，解得，又，所以.故选：A8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答.【详解】依题意，，令，，则有，由得：，即有，而，所以.故选：C【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则（）\nA.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数.【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确．故选:BCD．10.已知，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据二项分布可求二项分布的期望和方差，根据方差和期望的性质可求的期望和方差.【详解】因为，则，所以，，又，则，所以，．故选：ABD．11.已知数列{}满足，，则下列结论正确是（）A.为等比数列B.{}的通项公式为\nC.{}为递增数列D.的前n项和【答案】AB【解析】【分析】根据递推关系可得，进而可判断A，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D.【详解】因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．故选:AB．12.已知抛物线的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（）A.存在点A，B，使B.的最小值为4C.平分D.若点是弦的中点，则直线m的方程为【答案】BCD【解析】【分析】设，直线m的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算即可判断C，利用点差法计算判断D；\n【详解】解：抛物线C的焦点F的坐标为，由题意分析可知，直线的斜率一定存在．设，直线m的方程为，与抛物线联立，得，所以，，所以，所以为钝角，故A错误；（当且仅当时等号成立），故B正确；因为点，因为，即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确；由两式相减得，因为点是弦的中点，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为___．【答案】2【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，进而可求虚部.\n【详解】因为，故，则z的虚部为2．故答案为：214.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】根据全称命题和特称命题之间的关系转化成最值问题即可求.【详解】若命题“”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．所以实数a的取值范围是．故答案为:15.设函数，若对任意的实数x，恒成立，则取最小值时，___．【答案】【解析】【分析】由题意可得，从而可求得的最小值，即可得出函数的解析式，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，得，则，可得的最小值为5，此时，\n则．故答案为：.16.已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可.【详解】设，，因为当时，，所以，为增函数.又因为，所以.所以，即为偶函数.所以在为减函数，在为增函数.因为，所以，解得或.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70\n分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.【小问1详解】解：因为，所以.由正弦定理得，可得，所以，因为，所以.【小问2详解】解：由的面积，所以.由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为.18.设等差数列的前n项和为，且，．\n（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），（）.（2），（）.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和，结合已知条件联立方程可求出和，即可求出通项公式.（2）表示出，裂项相消求和即可.【小问1详解】解：由题可知，，即，解得，，所以，（）.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，（）.19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数\n女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．【答案】（1）填表见解析；有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可；（2）根据超几何分布相关知识即可求得X分布列和数学期望.【小问1详解】由已知数据可得列联表如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100提出假设开车时使用手机与司机的性别无关，因为，\n所以有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．【小问2详解】开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人．由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3，因为；；；．则的分布列为：0123则．20.莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．\n（1）求该凉亭及其内部所占空间的大小；（2）在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60（2）直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，理由见解析【解析】【分析】（1）根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解.（2）根据空间直角坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角，进而可求解.【小问1详解】结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取的中点G，连接，PG，则，，故，易求，所以，所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为，下半部分为正六棱柱，其体积，所以该凉亭及内部所占空间为60，【小问2详解】取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．\n假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，则，，,，设则，平面的一个法向量，则，，，则，即，令，解得，，所以平面的一个法向量,设直线MA与平面所成角，则，化简得，,故该方程不存在实数解，所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为21.已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上下顶点分别为\n，四边形的面积为，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于两点，判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）为定值；答案见解析．【解析】【分析】（1）根据题意建立方程即可求出即可得出椭圆方程；（2）若直线的斜率不存在，易得，若直线斜率存在，设出方程，与椭圆联立，利用韦达定理建立关系求解即可.【详解】解：（1）由题意得，．解得，所以椭圆的方程为．．（2）若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时可得，，，所以．若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入整理得，易得恒成立．设，则，由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以．\n所以．综上，为定值．．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0和小于0的解集，求出单调性；（2）变形为在上恒成立，构造，求导，研究其单调性，对分类讨论，得到时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案.【小问1详解】定义域为，\n，因为恒成立，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，，，整理得：，即在上恒成立，令，，若，则恒成立，不合题意，若，则，令，，则在恒成立，所以在上单调递减，当时，，即所以在上单调递减，故，即在上恒成立，满足题意；当时，，，所以存在，使，\n当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以存在使得，不合题意，综上：实数b的取值范围是【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，要结合函数与导函数的特征，对参数进行分类讨论，结合单调性，极值和最值等进行求解.
