全国1992年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4 2．（4分）若t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2﹣4ac和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（ ）A．△=MB．△＞M C．△＜MD．大小关系不能确定 3．（4分）若x2﹣13x+1=0，则的个位数字是（ ） A．1B．3C．5D．7 4．（4分）在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（ ） A．7B．6C．5D．4 5．（4分）如图所示，正比例函数y=x和y=ax（a＞0且a≠1）的图象与反比例函数（k＞0）的图象分别相交于点A和C，若Rt△AOB和Rt△COD面积分别记作S1与S2，则S1与S2的大小关系是（ ） A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1≠S2 126．（4分）在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是（ ） A．0B．1C．2D．37．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∠A=60°，又E是底边AB上一点，且FE=FB=AC，FA=AB．则AE：EB等于（ ） A．1：2B．1：3C．2：5D．3：10 8．（4分）设x1，x2，x3，…，x9均为正整数，且x1＜x2＜…＜x9，x1+x2+…+x9=220，则当x1+x2+x3+x4+x5的值最大时，x9﹣x1的最小值是（ ）A．8B．9C．10D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．（5分）如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于 _________ ． 1210．（5分）若x≠0，则的最大值是 _________ ． 11．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB= _________ ． 12．（5分）若a，b都是实数，且，则= _________ ． 三、解答题（共3小题，满分48分）13．（16分）设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围． 14．（16分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD． 15．（16分）某个信封上邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有4个编码如下：A、320651B、105263C、612305D、316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N． 12 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4 2．（4分）若t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2﹣4ac和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（ ） A．△=MB．△＞M C．△＜MD．大小关系不能确定 3．（4分）若x2﹣13x+1=0，则的个位数字是（ ） A．1B．3C．5D．7【答案】（D）【解析】：由方程x2﹣13x+1=0，得：x==，∴方程两边都除以x，得：x+=13，方程两边再平方得；∴x2+=167，方程两边再平方得；124．（4分）在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（ ） A．7B．6C．5D．4 125．（4分）如图所示，正比例函数y=x和y=ax（a＞0且a≠1）的图象与反比例函数（k＞0）的图象分别相交于点A和C，若Rt△AOB和Rt△COD面积分别记作S1与S2，则S1与S2的大小关系是（ ） A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1≠6．（4分）在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是（ ） A．0B．1C．2D．3 127．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∠A=60°，又E是底边AB上一点，且FE=FB=AC，FA=AB．则AE：EB等于（ ） A．1：2B．1：3C．2：5D．3：10 8．（4分）设x1，x2，x3，…，x9均为正整数，且x1＜x2＜…＜x9，x1+x2+…+x9=220，则当x1+x2+x3+x4+x5的值最大时，x9﹣x1的最小值是（ ） A．8B．9C．10D．11【答案】（ B． ）【解由题意：x1，x2，…，x9均为正整数得x1最小值为112析】∵当x1，x2，…，x8取到最小值时，x9取到最大值=220﹣（1+2+3+…+8）=220﹣36=184，∴x9﹣x1的最大值为184﹣1=183，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．（5分）如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于 ． 10．（5分）若x≠0，则的最大值是 ．12 11．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB= 3 ．12 12．（5分）若a，b都是实数，且，则= ． 三、解答题（共3小题，满分48分）13．（16分）设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．【解析】∵方程x2﹣6x+a=0有实数根，∴△=36﹣4a≥0，（1）当△=0时，即△=36﹣4a=0，解得a=9，此时三角形为等边三角形；（2）当△＞0，即△=36﹣4a＞0时，解得a＜9，设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2，由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2=6，∴x1≤2，∵x1+x2=6，x1•x2=a，∴a=x1•（6﹣x1），=6x1﹣（x1）2=﹣（3﹣x1）2+912∴=﹣（3﹣x1）2+9≤8，∴当0＜a≤8，a=9时，三角形只有一个． 14．（16分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD． 15．（16分）某个信封上邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有4个编码如下：A、320651B、105263C、612305D、316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N．1212
