黑龙江省大庆实验中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的）（1）若与为互斥事件，则（）(A)(B)(C)(D)（2）条件：动点到两定点距离的和等于定长，条件：动点的轨迹是椭圆，条件是条件的( )(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件（3）命题：“若，则”的逆否命题是（）(A)若，则或(B)若，则(C)若或，则(D)若或，则（4）在算式大+庆+精+神=中，“大、庆、精、神”分别代表四不同的数字，且依次从大到小，则“庆”字所对应的数字为( )(A)(B)(C)(D)(5)某个容量为的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间上的数据的频数约为( )(A)(B)(C)(D)第(6)题(6)执行如图所示的程序框图，输出的( )(A)(B)(C)(D)第(5)题7)命题“对任意的,”的否定是（）(A)不存在,(B)存在,(C)存在,(D)对任意的,(8)是一组已知统计数据，其中,令-9-\n，当()时，取到最小值(A)(B)(C)(D)(9)已知是双曲线的两个顶点，为双曲线上（除顶点外）一点，若直线的斜率乘积为，则双曲线的离心率( )(A)(B)(C)(D)(10)抛掷一枚均匀的硬币次，则出现正面的次数多于反面的概率（）第(11)题(A)(B)(C)(D)(11)如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )(A) (B)(C)(D)第(12)题(12)如图，若为椭圆上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为( )(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案写在答题卡上)(13)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_____.(14)已知、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为，则________.(15)甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.(16)已知圆，点，．是圆上的动点，当-9-\n取最大值时，点的坐标是________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.第一批次第二批次第三批次女教职工196xy男教职工204156z（I）求的值；（II）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名?18.（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄（岁）与身高的中位数如下表：（岁）1234567891076.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．5.5112.4582.503947.71566.85（I）求关于的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（II）某同学认为，更适宜作为关于的回归方程类型，他求-9-\n得的回归方程是．经调查，该地11岁男童身高的中位数为．与（I）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19．（本小题满分12分）求与圆A:外切且与直线l:相切于点的圆B的方程．20．（本小题满分12分）某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：12345678910甲11．612．213．213．914．011．513．114．511．714．3乙12．313．314．311．712．012．813．213．814．112．5（I）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12．8秒差的概率．（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于秒的概率．21．（本题满分12分）如图，已知正方形的边长为，，将正方形沿对角线折起，得到三棱锥.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥的体积最大时的二面角B-AC-D的余弦值.-9-\n(Ⅲ)若三棱锥的体积为，求的长.22．（本小题满分12分）设点，动圆经过点且和直线相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程;（Ⅱ）过点作互相垂直的直线、分别交曲线于和．求四边形面积的最小值．-9-\n参考答案一．选择题DBDBDCCBBCAB二．填空题1/31/6三．解答题17.解：(1)144----------5分(2)12-----------10分18.解：（1）设关于的线性回归方程为则，，即----------6分（2）当时，用（1）中的方程的用一元二次回归方程得由于143.64与145.3更近些，所以用该同学的回归方程拟合效果更好-----12分19.解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则.①-------------------------------2分又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，故＝.②------------------------------------------4分＝r.③------------------------------------------6分解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.------10分故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.---------------------12分20．解：（Ⅰ）茎叶图------2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；-------4分（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12．8，事件B为：乙的成绩低于12．8，-9-\n则甲、乙两人成绩至少有一个低于秒的概率为：=；--------------8分（Ⅲ）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，----------10分得，如图阴影部分面积即为，则．-------12分21．（1）证明：因为是正方形，所以，．-------------------1分在折叠后的△和△中，仍有，．因为，所以平面．--------2分因为平面，所以平面平面．------------------3分(2)二面角的余弦值为（定义法和坐标法同样给分）-------------6分（3）解：设三棱锥的高为，由于三棱锥的体积为，所以．因为，所以．---------8分以下分两种情形求的长：①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，由（1）知平面，所以．又，且，所以平面．所以为三棱锥的高，即．在△中，因为，-9-\n所以．在△中，因为，则．所以．-------10分②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，由（1）知平面，所以．又，且，所以平面．所以为三棱锥的高，即．在△中，因为，所以在△中，因为，则．所以．综上可知，的长为或．-----------12分22．解（Ⅰ）过点作垂直直线于点依题意得．---------2分所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线．--4分即曲线的方程是------------6分（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，由得的方程为．将代入化简得．-------------8分设则-9-\n同理可得---------------10分四边形的面积当且仅当即时，故四边形面积的最小值是----------12分-9-
