哈师大青冈实验中学2022---2022学年度6月份考试（学科竞赛）高二学年数学理科试题一．选择题：（共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1、设集合,,则( )A. B. C. D.2.复数，则（ ）A． B. C. D.3．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（）A．B．C．D．4.在区间上任取两个数，方程的两根均为实数的概率为()A． B． C． D．5.如右图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．8 B．9 C．12 D．16 6.二项式的展开式中含项的系数是（）A．80B．48C．D．7.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．甲、丁D．丙、丁8.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）A. B. C. D.9.某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n？”，n为正整数，若输出的S＝26，-8-则判断框内的n＝( )A．6 B．3 C．4 D．510.命题命题在上有零点，则是的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.若异面直线所成的角是，则以下三个命题:①存在直线，满足与的夹角都是；②存在平面，满足，与所成角为；③存在平面，满足，与所成锐二面角为.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C.2D．312.已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二.填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为 14.在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为15.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.则圆的普通方程为16.直线分别与直线，曲线交于A、B两点，则|AB|最小值为 三.解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.（10分）-8-为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？P(K2≥k0)0．150．100．050．0250．0100．0050．001k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910．82818.（12分）生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.质量（）数量6101284（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.19．(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88．28．48．68．89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)-8-20.（12分）如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.21.（12分）在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.22.（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在定义域内恒有，求实数的取值范围．-8-参考答案．一.选择题：1-5：AACBD6-10:DDBCA：11-12:DA二.填空题：13.214.15.16.4三.17.(1)由已知可列2×2列联表：患胃病未患胃病总计生活规律20200220生活不规律60260320总计80460540(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K2的观测值k＝≈9．638．∵9．638＞6．635，因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．18.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为，∴购进，生蚝的数量约有（只）.（Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在间的概率，的可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，∴的分布列为01234-8-∴或.19．(1)＝(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而＝＋20＝80＋20×8．5＝250,故＝－20x＋250．(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361．25，所以当x＝＝8．25时，zmax＝361．25(元)．即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．20解：解：(Ⅰ)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，-8-所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为21.解：（Ⅰ）曲线：经过伸缩变换，可得曲线的方程为，∴其参数方程为（为参数）；曲线的极坐标方程为，即，∴曲线的直角坐标方程为，即，∴其参数方程为（为参数）.（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离，∵，∴当时，.∴.-8-22.（1），当时，，则在上递减；当时，令，得（负根舍去）；当得，；令，得，∴上递增，在上递减．·······5分（2）当时，，符合题意；当时，，，，∴，，当时，在上递减，且与的图象在上只有一个交点，设此交点为，则当时，，故当时，不满足，综上，的取值范围．······12分-8-
