黑龙江省2022年上学期哈尔滨市第六中学校高三数学理开学考试试题答案一、选择题DACDBCBDBABC二、填空题13.314.15.16.③三、简答题17.解：(1)g(x)<5⇔|2x－3|<3⇔－3<2x－3<3⇔0<x<3.(2)由题意知{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}．又f(x)＝|a－2x|＋|2x＋3|≥|(a－2x)＋(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|2x－3|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≤－5或a≥－1.所以a∈(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．18.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ.由ρ＝2，得sinθ＝，∵θ∈，∴θ＝.(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，联立，得4/4\n解得ρ＝4.∴点B的极坐标为，∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.19.解：(1)因为f′(x)＝(x＞0)，所以f′(1)＝1＝a，解得a＝2.又因为g(1)＝a＋b＝f(1)＝0，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.(2)因为φ(x)＝－lnx在[2，＋∞)上是减函数，所以φ′(x)＝－＝≤0在[2，＋∞)上恒成立，即x2－(2m－2)x＋1≥0在[2，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋在[2，＋∞)上恒成立．因为x＋∈[，＋∞)，所以2m－2≤，得m≤.所以实数m的取值范围是(－∞，]．20.解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，将代入x2＋y2＝1得t2－4tsinφ＋3＝0，(*)由Δ＝16sin2φ－12>0得|sinφ|>，因为0≤φ<π，所以<φ<.(2)由(*)知，＝2sinφ，代入中，整理得P1P2的中点的轨迹方程为.21.解：（1）由函数f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即me-x-(-x)2+3=mex-x2+3对于任意实数x都成立，4/4\n所以m=0.此时h(x)=xf(x)=-x3+3x，则h'(x)=-3x2+3.由h'(x)=0，解得x=卤1.所以h(x)在(-鈭?-1)，(1,+鈭?上单调递减.（2）由f(x)=mex-x2+3=0，得m=x2-3ex.所以“f(x)在区间上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g'(x)=-x2+2x+3ex.由g'(x)=0，解得x1=-1，x2=3.当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示：x-1(-1,3)3(3,4)g'(x)-0+0-g(x)↘极小值↗极大值↘所以g(x)在，(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增.又因为g(-2)=e2，g(-1)=-2e，g(3)=6e3<g(-2)，g(4)=13e4>g(-1)，所以当-2e<m<13e4或m=6e3时，直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，有且只有两个公共点.即当-2e<m<13e4或m=6e3时，函数f(x)在区间上有两个零点.4/4\n22.解:（1）的定义域为，f'x=1x-a，当a鈮?时，f'x=1x-a>0，所以fx在上单调递增，无极值点；当a>0时，解f'x=1x-a>0得0<x<1a，解f'x=1x-a<0得x>1a，所以fx在0,1a上单调递增，在上单调递减，所以函数fx有极大值点，为，无极小值点.(2)令令令，即(1)在上单点递增，在上单调递减.由（1）式得由可得，在上单调递增，，得证.org4/4
