高二（上）数学期末统一试题

高二（上）数学期末统一试题第Ⅰ卷（选择题   共60分）注意事项1、答第Ⅰ卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在第Ⅱ卷的密封线内.2、将第Ⅰ卷上每小题所选答案前的字母标号填写在第Ⅱ卷卷首相应的答题栏内.在第Ⅰ卷上答题无效.3、考试结束，只交第Ⅱ卷.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在第Ⅱ卷相应的答题栏内．1.直线 和 的夹角是A．            B．             C．           D．  2.抛物线 上一点到 轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是A．2             B．3               C．4            D．53.不等式 的解集是A．(-∞，-1)∪(1，2)             B．(-1,1) ∪(2, +∞)     C． (-1,2)                            D．(-∞,1) ∪(2,+ ∞)4.直线 关于点 对称的直线方程是A．                    B． C．                    D． 5.已知方程 和 表示的两条直线平行，则 的值为A．  或        B．              C．             D．  或 6.如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD，M、N分别为AB、BC的中点，则与PM垂直的直线是（   ）A．AB           B．BC           C．AN           D．MC7.以椭圆 的焦点为焦点，双曲线 的顶点为顶点的双曲线的虚轴长是8/8A．           B．6           C．          D．38.斜率为2的直线被抛物线 所截得线段中点的轨迹方程是A．                    B．  C．                   D．  9.直线 的斜率 ，则此直线的倾斜角的取值范围是A．                         B．     C．                       D． 10.已知函数 ，对于任意正数 ，使得 的一个充分但不必要条件是A．                    B． C．                   D． 11.若直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围是A．                 B． C．                    D． 或 12.已知椭圆 的左、右焦点是 , ， P是椭圆上的一点，线段 交 轴于点 ，若 是 与 的等差中项，则 等于A．3           B．2            C．5                D．4 第Ⅱ卷（非选择题  共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.得分评卷人二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．13. 函数 的最小值是                    ．14. 若直线 与圆 相切，则 的值为                 ．15. 双曲线 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段的长为              ．16.已知 、 是不同的直线， 、 是不同的平面，给出下列四个命题：8/8①  若 ， ，则     ② 若 ， ，则    ③  若 ， ，则     ④ 若 ， ，则 其中正确命题的序号是                    ．（将你认为正确的全填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人 17、（本小题满分12分）已知 、 均为正实数，试比较 与 的大小．得分评卷人18、（本小题满分12分）已知空间四边形ABCD中，AC、BD是对角线．（Ⅰ）若AB=AD，CB=CD，证明： BD⊥AC；（Ⅱ）若点O为△BCD的重心，P为AD上的一点，OP∥平面ABC，求 的值． 得分评卷人19、(本小题满分12分)某校办工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元．已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料 2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料 2千克，B种原料 3千克．但该厂A种原料至多有 100千克，B种原料不超过120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．8/8得分评卷人20、（本小题满分12分）已知点P（2，0）及⊙C： ．（Ⅰ）当直线 过点P且与圆心C的距离为1时，求直线 的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当  时，求以线段AB为直径的圆的方程．得分评卷人21、（本小题满分12分）已知垂直于 轴的直线与圆 有公共点 ．（Ⅰ）若点P是线段AB的三等分点，求动点 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P满足条件AP = mPB，且点P的轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围，并求此椭圆的离心率． 得分评卷人22、（本小题满分14分）已知抛物线 的焦点是 ，准线是 ，过点 斜率为 的直线 交抛物线于A、B两点．（Ⅰ）当 时，在 上是否存在点P，使∠APB为钝角？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若 上存在点P，使△APB为等边三角形，求此时 的值．参考答案一、题号123456789101112答案ACABDCBBDCAD二、13．3          14．          15．           16．①、③8/8三、17．（本小题满分12分）17．解：∵  =  ，且 、 均为正实数，                 ……3分∴  当 时， ， > ；                       ……6分当 时， ， = ；                        ……9分当 时，  ， < ．                      ……12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ，∵   ， ，∴    ， .又   ，∴   ⊥平面 ，又  平面 ，∴   ⊥ ．                                               ……6分         （Ⅱ）解：连 并延长交 于 点，由 为 的重心，知 为 中点，且 ．连 ，则平面  平面 = .∵   ∥平面 ，∴   ∥ ，从而在  中，  = = ．                                 ……12分19．（本小题满分12分）解：设生产甲产品 千克，乙产品 千克，产值为 元．则  ， ．                          ……4分       作出可行域如图，                                                 ……8分 平移直线 ，使它过 点，此时 取得最大值，由 得最优解是（7.5，35）．故安排生产甲产品7.5千克，乙产品35千克，可取得最大产值为8/8 元．                              ……12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，⊙C标准方程为 ，设所求直线 的方程为 （斜率存在），由圆心到直线的距离 ，解得 ，∴   的方程为 ；                                    ……4分又，当 的斜率不存在时，也满足题意，此时 的方程为 ，故所求直线 的方程为 或 ．                       ……6分（只写出直线 ，给2分）（Ⅱ）解法一  由平几知识，当 时，圆心C（3，－2）到直线AB的距离为 ，                                        ……8分又 ，∴   CP⊥AB，P为弦AB的中点．故以线段AB为直径的圆的方程是 ．                   ……12分解法二  若直线AB的斜率不存在，即直线为 ，此时 ，不合题意，故可设直线AB方程为 ，由圆心C到直线AB的距离 ，可得 ．                                                        ……9分将 代入 并整理得： ，∴   AB中点横坐标 ，从而纵坐标 ．故以线段AB为直径的圆的方程是 ．                    ……12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设点A、B的坐标分别为 ， ，点P的坐标为 ，依题意有  或  ，且 ，∴   或 ，由点A在圆 上有 ．得8/8                                                 ……5分∴  所求动点P的轨迹方程是 （ ）．               ……6分（Ⅱ）解：依题意有  ，且 ∴     ，由点A在圆 上可得： ，                ……9分又点P的轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，∴    ，解得 且 ．                        ……11分此时 ， ， ，∴   ．                                           ……12分22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解法一  抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ，直线m的方程为 ，由 消去 可得： ，设点A、B的坐标分别为 ， ，点P的坐标为 ，则 ，                                                ……2分若∠APB为钝角，则 ，∴   ，利用 ， 并整理得 ，这不可能，所以在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角．                     ……6分解法二  (以上同解法一)由 ， 及  8/8 可知，在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角．                    ……6分解法三  设AB的中点为M，过A、B、M同时作 的垂线，垂足分别为C、D、N，则有： ， ， ，∴ 以AB为直径的圆必与准线 相切，∴ 直线 上除切点外的所有点都在以AB为直径的圆的外部，∴ 在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角．                       ……6分（Ⅱ）依题意，直线m的方程为 （ ），由 消去 可得： ， 设点A、B的坐标分别为 ， ，线段AB中点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，则  ，且 ，                                          ……8分  （或由 得到）同理  ，              ……10分由△APB为等边三角形可知 ，即  × ，解得 ， ．   ……14分8/8