高三数学下册第六次调研测试数学试卷（考试时间：120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．函数的定义域为.2．已知复数与均为纯虚数，则等于．3．已知向量，向量满足∥，且，则=。4．在等比数列{an}中，已知a4＋a10=10，且，则=．5．已知命题：“，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是．6．如图，程序执行后输出的结果为．7．下列命题正确的序号是_____．（其中l，m表示直线，表示平面）(1)若；(2)若；(3)若；(4)若俯视图主视图（第8题）8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最大值与最小值之差为 ．9．已知，则当mn取得最小值时，椭圆的离心率为．10．对任意两个集合A、B，定义：，，设，，则17/1711．若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于．12．已知两个不共线的向量，的夹角为，且.若点M在直线OB上，且的最小值为，则的值为．13．设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是_.14．f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（1）判断△ABC的形状；（2）若的值.17/1716．（本题满分14分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.（1）求证：PB//平面AEC；（2）若F为侧棱PA上的一点，且，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积．BB17/1717．（本题满分15分）已知圆A：与轴负半轴交于B点，过B的弦BE与轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．（1）求椭圆的方程；（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．17/1718．（本题满分15分）如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长(用表示)；AB2m2mMNEDFPQCCl⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?17/1719．（本题满分16分）已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足：，且，前9项和为153．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（3）设*，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17/1720．（本题满分16分）函数．（1）试求f(x)的单调区间；（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式对于恒成立．17/17数学附加题考试时间：30分钟满分40分一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题．如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．1.(选修4一l：几何证明选讲)如图，圆O的直径,C为圆周上一点，,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。2.(选修4—2：矩阵与变换)已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．3.(选修4—4：坐标系与参数方程)已知直线和参数方程为,是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值．4.(选修4—5：不等式选讲)已知f(x)＝定义在区间[－1，1]上,设x1，x2∈[－1，1]且x1≠x2．(1)求证:|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|(2)若a2＋b2＝1，求证：f(a)＋f(b)≤．选做题一：选做题二：17/17二、必答题：本大题共2小题。每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．5.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．设复数(i是虚数单位)。（1）求事件“为实数”的概率；（2）求事件“”的概率。6.如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.（1）求与平面A1C1CA所成角的正切值；(2)求二面角B—A1D—A的平面角的正切值；17/17（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？17/17江苏省通州市2022届高三第六次调研测试参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2．2i 3．（）或（） 4．16 5．a≥-86．647．（1）(3)(4)8．69． 10．11．1 12．13．(－∞，1)14．，提示：设，则，故为增函数，由a＜b，有，也可以考虑特例，如f(x)=x2二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（1）5分即为等腰三角形.8分（2）由（I）知12分14分16．（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，锥体高度为1。设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，OE//PB，3分17/17EO面EAC，PB面EAC内，PB//面AEC。6分（2）过O作OFPA垂足为F,在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，8分过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.10分在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=即当时，PA面BDF，12分此时F到平面BDC的距离FH=14分17．(1)4分椭圆方程为7分（2）10分＝214分所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到最大值为．15分18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，4分=EF=DM+DN-MF-EN=+－－=（）7分（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能超过，即平板车的长度；记，有=，17/17===，10分此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值。15分19．(1)点(n，)在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，an＝n＋5．3分∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nÎN*)，∴bn+2－bn+1＝bn+1－bn＝…＝b2－b1．∴数列{bn}是等差数列，∵b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．6分(2)由(1)得，cn＝＝＝(－)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－)．9分∵Tn＝(1－)在nÎN*上是单调递增的，∴Tn的最小值为T1＝．∵不等式Tn＞对一切nÎN*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整数k的值为18．11分(3)nÎN*，f(n)＝＝当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m为奇数)或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m为偶数)．13分解得m＝11．所以当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)．16分17/1720．（1）．2分 当时，，在上单调递增；3分 当时，时，，在上单调递减；时，，在上单调递增．5分综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．6分（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，即。而在上单调递减，在上单调递增，在上由唯一的一个零点x=1．9分必要性：=0在上有唯一解，且a>0,由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．令，．当时，，在上单调递增；当a>1时，，在上单调递减。，=0只有唯一解a=1．=0在上有唯一解时必有a=1．12分综上：在a>0时，=0在上有唯一解的充要条件是a=1．（3）证明：∵1
