陕煤建司一中2022-2022学年度第一学期期中考试高二数学试题一.选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝A. B. C. D．12．若不等式x2＋2x＋c<0的解集为{x|－3<x<1}，则实数c的值为A．2 B．－2 C．3 D．－33．数列－1，3，－5，7，－9，11，…的一个通项公式为A．an＝(2n－1)(－1)n B．an＝(2n＋1)(－1)nC．an＝(2n－1)(－1)n＋1D．an＝(2n＋1)(－1)n＋14．若a>b>0，则下列成立的是()A.＞b＋B.＞C．a－＞b－D.＞5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝21，S21＝33，则S14＝()A．27B．45C．32D．116．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.B.C.D.7．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？A．5B．4C．3D．28．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则＝()A．6B．7C．8D．99．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝(n∈N*)，则＝()A．16B.C.D.10．关于x的不等式2kx2＋x－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是-8-\nA.B.C.D.11.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为A．－4B．6C．10D．1712.设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是()A.B.C．2＋D．2－二.填空题(每小题4分，共20分)13．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝__________，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．14.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝b，则＝________．15．若点A(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．16．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，若存在唯一的正整数n使得不等式a－tan－2t2≤0成立，则实数t的取值范围为________．三.解答题(共70分)17.(10分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.18．(12分)在△ABC中，已知sin＝，cos(π－B)＝－.(1)求sinA与B的值；(2)若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝5，求b，c的值．19.(12分)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝-8-\n(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．20.(12分已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．21.(12分)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.22.(12分)已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝1，且a1，a3，a2＋14成等差数列，数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1，n∈N*.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若man≥bn－8恒成立，求实数m的最小值．-8-\n陕煤建司一中2022-2022学年度第一学期期中考试高二数学答案1．B2．D3．A4．A5．D6．D7．C8．D9．A.10．A11.B12.A13．－2 2n－1－14. 115．216．(－2，－1]∪17.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，∵S3＝6，S5＝15，即解得∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)得bn＝＝，即解得∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)得bn＝＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①①式两边同乘，得Tn＝＋＋＋…＋＋，②-8-\n①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，∴Tn＝2－－..18．在△ABC中，已知sin＝，cos(π－B)＝－.(1)求sinA与B的值；(2)若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝5，求b，c的值．解析 (1)∵sin＝cosA，∴cosA＝.又∵0<A<π，∴sinA＝.∵cos(π－B)＝－cosB＝－，且0<B<π，∴B＝.(2)解法一 由正弦定理得＝，∴b＝＝7.另由b2＝a2＋c2－2accosB得49＝25＋c2－5c，解得c＝8或c＝－3(舍去)．∴b＝7，c＝8.解法二 由正弦定理得＝，∴b＝＝7.又∵cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)，＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝，∴c2＝a2＋b2－2abcosA得c2＝25＋49－2×5×7×＝64，即c＝8.∴b＝7，c＝8.19.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．-8-\n解析 (1)证明 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，则f(x)在区间和上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．解析 (1)证明 依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)．所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)因为an＝，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－3)=．21.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．-8-\n(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离．解析 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，解得x＝31.(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，得sin∠PAD＝＝，∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．22.已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝1，且a1，a3，a2＋14成等差数列，数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1，n∈N*.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若man≥bn－8恒成立，求实数m的最小值．解析 (1)∵等比数列{an}满足：a1＝1且a1，a3，a2＋14成等差数列，∴2a3＝a1＋a2＋14，即2a1q2＝a1＋a1q＋14，∴2q2－q－15＝0，∴q＝3或q＝－，又q>1，∴q＝3，∴an＝3n－1.∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1，①∴当n≥2时，有a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·3n－1＋1，②①－②可得anbn＝(2n－1)·3n－1，∴bn＝2n－1(n≥2)，又n＝1时，可求得b1＝1，适合bn＝2n－1，故bn＝2n－1.(2)若man≥bn－8恒成立，则m≥恒成立．-8-\n令Cn＝，∴Cn＋1－Cn＝－＝.当Cn＋1＝Cn，即n＝5时，C5＝C6，当Cn＋1>Cn，即n<5时，C1<C2<C3<C4<C5，当Cn＋1<Cn，即n>5时，C6>C7>C8>…，∴Cn的最大值为C5＝C6＝，∴m≥，∴实数m的最小值为.-8-
