陕西省商南县高级中学2022届高三数学上学期四模考试试题理一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A．1-iB．-1-iC．1+iD．-1+i2.下列说法不正确的是（）A.若“且”为假，则、至少有一个是假命题B.命题“”的否定是“”C.“”是“为偶函数”的充要条件D.时，幂函数在上单调递减3.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．设，，，则，，的大小为（）．A.B.C.D.5.在中,角所对应的边分别为.若角依次成等差数列,且.则（）-11-A．B．C．D．6.某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为则正视图中x的值为（）A．5B．4C．3D．27．椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）A．a=11B．a=12C．a=13D．a=149．已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．010.已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a·b，要得到y＝sin2x＋cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象( )A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位11．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为 A．B．C．D．12．直线是曲线的一条切线，若满足-11-对恒成立，则的取值范围为（）A.B.C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．的展开式中的常数项是__________．14.某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________．15．已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．16．如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为__________．三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤.）17．(12分)在中，角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．18.(12分)如图，在三棱锥中，，平面平面是等边三角形，已知.（I）求证：平面平面；（II）求二面角-11-的余弦值.19．(12分)某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在12秒到17秒之间，现抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数；（Ⅱ）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；（III）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为，求的分布列和期望．20．(12分)已知椭圆：过点，左、右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰为线段的中点，为坐标原点．（I）求椭圆的离心率；（Ⅱ）与直线斜率相同的直线与椭圆相交于、两点，求当的面积最大时直线的方程．21.(12分)设函数.(I)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；(III)当，，方程有唯一实数解，求正数的值.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程-11-曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）,（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线任一点为，求点直线的距离的最大值.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.-11-2022-2022年度高三四模数学（理科）答题卷姓名:班级：试场:座号：注意事项1.选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。2.非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。填涂样例正确填涂i条形码粘贴区域(正面朝上，切勿贴出虚线方框)第一部分选择题(共60分)一、选择题（每小题5分，共60分）一：BCBACCABBDBD7abcd8abcd9abcd10abcd11abcd12abcdABCD7ABCD7ABCD1abcd2abcd3abcd4abcd5abcd6abcd第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.3015.016.-11-三、解答题（共70分）17.（10分）17.解：（Ⅰ）由得…………………2，所以又…………………6分（Ⅱ）设的公差为，由得，且，∴．又，∴，∴．………8分∴………10分∴…1218.(1)【答案】证明：（I）∵在中，,∴,∴,又∵,∴,又∵，∴平面平面;（II）如图建立空间直角坐标系，∴,∴,∵设平面的法向量 18.（12分）-11-,由,∴, 令,∴,∴,设平面的法向量,由,∴,令 ，∴,∴,∴二面角的余弦值为.19.（1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38，故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有（人）．（2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得，解得（秒）．（3）第一组的人数为，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为，其中1名男生，3名女生，故的可能取值为1,2,3，，，123，的分布列为,由,∴, 令,∴,∴,设平面的法向量,由,∴,令 ，∴,∴,∴二面角的余弦值为.20.（1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38，故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有（人）．（2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得，解得（秒）．（3）第一组的人数为，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为，其中1名男生，3名女生，故的可能取值为1,2,3，，，123，的分布列为-11-19.（12分）(1)椭圆过点①，连接为线段的中点，为线段的中点，，则，②，由①②得，椭圆的离心率为.(2)由（1）知椭圆与的方程为，直线的斜率，不妨设直线的方程为，联立椭圆与直线的方程得，，解得.设，则，点到的距离，当且仅当时取等号，即.-11-21.（12分）(1)依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得.(∵)因为有唯一解，所以，当时，，单调递增；当时，，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.(2)，，则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.(3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，，因为，，所以(舍去)，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，取最小值.则，即，所以，因为，所以(*)设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，因为，所以方程(*)的解为，即，解得.-11-22.选做题（必须用2B铅笔涂黑选作信息点）（12分）22.（Ⅰ）直线的普通方程为，…………………………………2分∵∴………………………3分将……4分故曲线的直角坐标方程为，…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换，得曲线的方程，6分则曲线的参数方程为(是参数)，设点M的坐标为……7分由点到直线的距离公式可得…………8分,……………9分当时，有最大值，故点到直线的距离的最大值为.……10分23、解：（Ⅰ）不等式化为，……所以不等式的解集为；…………5分（Ⅱ）不等式等价于即，…………………………6分因为，……7分若存在实数，使不等式成立，则，……8分解得：，实数的取值范围是………………10分22.选做题（必须用2B铅笔涂黑选作信息点）（12分）22.（Ⅰ）直线的普通方程为，…………………………………2分∵∴………………………3分将……4分故曲线的直角坐标方程为，…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换，得曲线的方程，6分则曲线的参数方程为(是参数)，设点M的坐标为……7分由点到直线的距离公式可得…………8分,……………9分当时，有最大值，故点到直线的距离的最大值为.……10分23、解：（Ⅰ）不等式化为，……所以不等式的解集为；…………5分（Ⅱ）不等式等价于即，…………………………6分因为，……7分若存在实数，使不等式成立，则，……8分解得：，实数的取值范围是………………10分-11-
