第六次月考数学理试题【重庆版】本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）第4题图1．已知集合，则（A）（B）（C）（D）2．已知等比数列满足，则的值是（A）（B）（C）（D）3．计算：（A）（B）（C）（D）4．如果执行如图所示的框图，则输出的值为（A）（B）（C）（D）5．若展开式中的常数项是，则实数的值是（A）（B）（C）（D）xyo1第6题图6．已知函数，其部分图象如图所示，则的值分别为（A）（B）（C）（D）第8题图7．在等腰中，，，则的值为（A）（B）（C）（D）8．已知某几何体的三视图如图所示（单位），则此几何体的体积为（A）（B）7（C）（D）9．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）10．过原点的直线交双曲线于两点，现将坐标平面沿轴折成直二面角，则折后线段的长度的最小值等于（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．）11．已知是虚数单位，则复数________．12．已知实数满足，则的最大值是________．13．假设乒乓球团体比赛的规则如下：进行5场比赛，除第3场为双打外，其余各场为单打，参赛的每个队选出3名运动员参加比赛，每个队员打两场，且第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛．某队有4名乒乓球运动员，其中不适合双打，则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有________种．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．第第14题图14．如图，为圆的两条割线，若，则的长为________．15．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、，则________．16．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题共13分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问8分）今年3月1日，重庆某中学50位学生参加了“北约联盟”的自主招生考试．这50位同学的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：7．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）从成绩不低于100分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在110分以上（含110分）的人数记为，求的分布列和数学期望．18．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）已知向量，函数．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．19．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）已知函数．（Ⅰ）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论的单调区间．20．（本题共12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）如图所示，已知三棱柱，点在底面上的射影恰为的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分）设为圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足：．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与点的轨迹交于两点，若，求实数的取值范围．722．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分,第（Ⅱ）问8分）已知数列满足：．（Ⅰ）若，，，求的值；（Ⅱ）若，证明：且，．参考答案一、选择题第10题详细分析：设，则折后有，所以的最小值为，此时.二、填空题711.12.13.14.15.16.三、解答题17.（Ⅰ）由，得…….5分（Ⅱ）成绩在100分以上的人数为8人，成绩在110分以上的人数为3人，由题意：的可能取值是则故的分布列为：从而.…………….13分18.（Ⅰ）………2分，又……4分………6分（Ⅱ）由得，………10分，………13分19.（Ⅰ），在处取得极值，，，，故曲线在点处的切线方程为，即.…………….6分（Ⅱ）7当时，，在上单调递增；当，即时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；当，即时，在上是减函数，在上是增函数.….13分20.解：如图所示，取的中点，则.又平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.…….2分（Ⅰ）证明：，由，知，又，从而平面.…….6分（Ⅱ）因为，，由得.,设平面的一个法向量为，则，可取，同理，可求得平面的一个法向量为，.所以，二面角的余弦值为.…………….12分21.（Ⅰ）设点，由，知点，因为点在圆上，所以，即点的轨迹方程是.…….4分（Ⅱ）设点，则切点弦的方程为.设点，则圆心到的距离.故.由得，则，7故，从而.设，则.于是，设，于是.设，则，令，得.于是在上单调递增，，即实数的取值范围是.…………….12分22.（Ⅰ）由条件知：，从而，又，，．………………………………….4分（Ⅱ），前项相加，得：，①…………….6分后项相加，得：．从而……………….8分后项相加，得：．②从而，．③……………………….11分因为，代入③得：．…………………………………….12分7
