重庆市名校联盟2022～2022学年第一次联合考试理科数学试题（高2022级）(本试卷共3页，总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。3．所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。4．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给定的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点A(，1)，B(3,－1)，则直线AB的倾斜角是( )A．60° B．30°C．120°D．150°2．与直线y＝－3x＋1平行，且与直线y＝2x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( )A．y＝－3x＋4B．y＝x＋4C．y＝－3x－6D．y＝x＋3．已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⊥BC,,AC=2,BC=3,AA1=4,则此三棱柱的体积等于( )A．24B．12C．8D．44．圆关于坐标原点对称的圆的方程是（）A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于( )A．(5＋)πB．(20＋2)πC．(10＋)πD．(5＋2)π6.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若则B．若，则C．若，则D．若，则7.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.正四棱锥P－EFGH的高为，长为2，长为1，则该组合体的表面积为（）A．20B．4+12C．16D．4+88.已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（）．A．(1，－2)B．(－1，2)C．(－1，－2)D．(1，2)9.已知斜三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知点在同一球面上，，,四面体的体积为，则这个球的体积为（ ）A．8B．C．D．511．曲线y＝1＋与直线kx－y－k＋3＝0有两个交点，则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．12．如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是()①当0<cq<时，s为四边形；②当cq＝时，s为等腰梯形；③当cq＝时，s与c1d1交点r满足c1r1＝；④当<cq<1时，s为六边形；⑤当cq＝1时，s的面积为.a．①③④b．②④⑤c．①②④d．①②③⑤第ii卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.过点p（2，－1）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为．14.几何体abcdef如图所示，其中ac⊥ab,ac=3，ab=4，ae、cd、bf均垂直于面abc，且ae=cd=5，bf=3，则这个几何体的体积为.15．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于a，b两点，则△aob(o为坐标原点)的面积为________．16．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，平面分别与三棱锥的四条棱交于，若直线，直线，则平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值等于_______________________(14题图）（16题图）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,点是的中点,是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求证：18（本小题满分12分）已知以点a(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点b(－2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点.(1)求圆a的方程；(2)当|mn|＝2时，求直线l的方程．19（本小题满分12分）如图，正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为2，d是bc的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求三棱锥的体积．20（本小题满分12分）已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆c上．(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线x－y＋a＝0交于a，b两点，且oa⊥ob，求a的值．521．(本小题满分12分)如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是矩形，已知ab＝3，ad＝2，pa＝2，pd＝2，∠pab＝60°.(1)求证：ad⊥平面pab；(2)求直线pc与平面abcd所成的角的正切值；(3)求二面角p－bd－a的正切值．22.（本小题满分10分）如图，圆：．(1)若圆与轴相切，求圆的方程；(2)已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．重庆市名校联盟2022—2022学年度第一次联合考试理科数学（高2022级）参考答案及评分细则一．选择题（每题5分）1—5：dcbca6—10：bacdb11—12：dd二．填空题（每题5分）13.2x+y-3=014.2615.16.三．解答题17.(1)证明：取中点为，连∵是的中点∴是的中位线,∴∵是中点且是菱形，，∴.∴∴四边形是平行四边形.从而,∵平面,平面,∴∥平面…………………………………………6分(2)证明：连结∵底面是菱形，∴是等边三角形∵是的中∴∵平面,∴∴∵∴…………………12分18.解：（1）由题意知：a到直线l1的距离为：∴圆的方程为：…………………………………4分（2）当直线l的斜率不存在时为此时圆心a到直线l的距离为，满足|mn|＝2当直线l的斜率存在时设为由|mn|＝2，知，圆心a到直线l的距离为∴∴l的方程为综上所诉：直线l的方程为或……………………12分19.解：（1）连结交于e，连结de∵d为bc中点，e为中点∴在中，∴为直线与所成的角∵侧棱长和低面边长均为25∴∴在中,……………………7分（2）∵，∴在正中，d为bc中点，∴∴∴…………………12分20.解：(1)由题意可设圆c的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆c的圆心为(3,1)，半径长为＝3.……………………4分所以圆c的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9(2)由消去y，得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，此时判别式δ＝56－16a－4a2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有①…………………………………9分由于oa⊥ob，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0②由①②得a＝－1，满足δ>0，故a＝－1.………………………………12分21.解： (1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB.∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.…..…………………………………2分(2)过点P作PH⊥AB于点H，连结AC.∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.∴∠PCH是直线PC与平面ABCD所成的角由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，∴CH＝∴在Rt△PHC中，tan∠PCH＝……………………………6分(3)过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.由(2)知PH⊥平面ABCD.又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE.而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝＝，HE＝·BH＝.∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.∴二面角P－BD－A的正切值为……………………………12分22.解：（Ⅰ）因为得，由题意得，所以故所求圆C的方程为．…………………………4分（Ⅱ）令，得，即所以假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入得，，5设从而因为而因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得．……………………………12分5</cq<时，s为四边形；②当cq＝时，s为等腰梯形；③当cq＝时，s与c1d1交点r满足c1r1＝；④当<cq<1时，s为六边形；⑤当cq＝1时，s的面积为.a．①③④b．②④⑤c．①②④d．①②③⑤第ii卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.过点p（2，－1）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为．14.几何体abcdef如图所示，其中ac⊥ab,ac=3，ab=4，ae、cd、bf均垂直于面abc，且ae=cd=5，bf=3，则这个几何体的体积为.15．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于a，b两点，则△aob(o为坐标原点)的面积为________．16．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，平面分别与三棱锥的四条棱交于，若直线，直线，则平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值等于_______________________(14题图）（16题图）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,点是的中点,是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求证：18（本小题满分12分）已知以点a(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点b(－2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点.(1)求圆a的方程；(2)当|mn|＝2时，求直线l的方程．19（本小题满分12分）如图，正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为2，d是bc的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求三棱锥的体积．20（本小题满分12分）已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆c上．(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线x－y＋a＝0交于a，b两点，且oa⊥ob，求a的值．521．(本小题满分12分)如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是矩形，已知ab＝3，ad＝2，pa＝2，pd＝2，∠pab＝60°.(1)求证：ad⊥平面pab；(2)求直线pc与平面abcd所成的角的正切值；(3)求二面角p－bd－a的正切值．22.（本小题满分10分）如图，圆：．(1)若圆与轴相切，求圆的方程；(2)已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．重庆市名校联盟2022—2022学年度第一次联合考试理科数学（高2022级）参考答案及评分细则一．选择题（每题5分）1—5：dcbca6—10：bacdb11—12：dd二．填空题（每题5分）13.2x+y-3=014.2615.16.三．解答题17.(1)证明：取中点为，连∵是的中点∴是的中位线,∴∵是中点且是菱形，，∴.∴∴四边形是平行四边形.从而,∵平面,平面,∴∥平面…………………………………………6分(2)证明：连结∵底面是菱形，∴是等边三角形∵是的中∴∵平面,∴∴∵∴…………………12分18.解：（1）由题意知：a到直线l1的距离为：∴圆的方程为：…………………………………4分（2）当直线l的斜率不存在时为此时圆心a到直线l的距离为，满足|mn|＝2当直线l的斜率存在时设为由|mn|＝2，知，圆心a到直线l的距离为∴∴l的方程为综上所诉：直线l的方程为或……………………12分19.解：（1）连结交于e，连结de∵d为bc中点，e为中点∴在中，∴为直线与所成的角∵侧棱长和低面边长均为25∴∴在中,……………………7分（2）∵，∴在正中，d为bc中点，∴∴∴…………………12分20.解：(1)由题意可设圆c的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆c的圆心为(3,1)，半径长为＝3.……………………4分所以圆c的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9(2)由消去y，得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，此时判别式δ＝56－16a－4a2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有①…………………………………9分由于oa⊥ob，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0②由①②得a＝－1，满足δ>
