要点梳理考点讲练课堂小结课后作业小结与复习第1章直角三角形
直角三角形的性质定理1直角三角形的两个锐角______.互余直角三角形的判定定理1有两个角______的三角形是直角三角形.互余一、直角三角形的性质与判定要点梳理
直角三角形的重要推论1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.一半2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____.一半3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于_____.30°
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件二、勾股定理3.勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，ABCcab
三、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数ABCcab
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.ABCDEF注意：①对应相等.②“HL”仅适用直角三角形,③书写格式应为:∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)四、直角三角形全等的判定
角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定五、角平分线的性质与判定
考点一直角三角形的性质与判定例1：如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，CB的延长线与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( )A．110°B．100°C．80°D．70°【分析】∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.考点讲练A
例2如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，∵AB=AC，∴AE=AF，在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，∴DE=AB，DF=AC，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=
1.等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是______cm，这个三角形的面积是_____cm2.24针对训练
例3在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b•BD＝ac，考点二勾股定理
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．方法总结2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或25针对训练D
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，设CD＝xcm，则AD＝BD＝(8－x)cm，代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，化简，得36＝64－16x，所以x＝＝1.75，即CD的长为1.75cm.3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．
例4已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．考点三勾股定理的逆定理解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是直角三角形．
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．方法总结
4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．针对训练(2)(4)
5.B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=16（nmile）,乙船航行的距离为BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
6.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．解：猜想∠A+∠C=180°．连接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=25cm，∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．
考点四直角三角形全等的判定例5如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定BD是否等于CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
ABCD解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.
例6如图，在△ABC中，EB=FC，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：AD是△ABC的角平分线.ABCDEF【分析】先利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到DE=DF，再利用角平分线的判定定理证明AD是△ABC的角平分线.考点五角平分线的性质与判定
ABCDEF在Rt△BDE和Rt△CDF中，EB=FC，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线.证明：
例7如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证:PA=PC.BACN))12P【分析】由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.EF
证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.BACN))12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵∠PCB+∠BAP=180°,又∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，PE=PF，∴△APE≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.
【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即可获证.ACN))12PB证明过程请同学们自行完成！D【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.
7.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:∠PCB+∠BAP=180°.BACN))12PEF【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.PA=PC，PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE≌Rt△PCF(HL).针对训练
∴∠EAP=∠FCP.∵∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有怎样的数量关系呢？BACN))12PEF
课堂小结勾股定理直角三角形直角三角形的性质两个直角三角形全等的判定（HL）直角三角形的判定勾股定理的逆定理角平分线的性质角平分线的判定
见章末练习课后作业
