辽宁省实验中学2022—2022学年度上学期期中阶段测试高二理科(数学)试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.椭圆的焦距是( )A.B.C.D.2.在等差数列中，已知，，公差，则( )A.16B.17C.18D.193.直线与椭圆的公共点个数是()A.0B.1C.2D.44.若，则下列不等式不成立的是()A.B.C.D.5.设正项等比数列的前项和为，且，则数列的公比为()A.4B.2C.1D.6.如图，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为()A.B.C.12D.1-8-\n1.已知命题是命题“已知为一个三角形的两内角,若，则”的否命题命题：公比大于1的等比数列是递增数列。则在命题：，：，：和：中，真命题是()A.，B.，C.，D.，2.已知数列满足，若，则的值为()A.B.C.D.3.已知，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为()A.B.C.D.4.已知集合，，则交集所表示的图形面积为()A.1B.2C.4D.85.设条件：实数满足条件：实数满足，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件6.若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.-8-\n第Ⅱ卷二、填空题(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).1.《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了尺.2.如果关于的不等式的解集是非空集合，则.3.已知椭圆的左右焦点为，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为.4.已知数列，，，前项和为，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。5.(本小题满分10分)用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积)6.(本小题满分12分)已知椭圆，(Ⅰ)求出椭圆上的动点到点的距离的最大值；(Ⅱ)若点是椭圆的左顶点，在椭圆上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求斜边的长。7.(本小题满分12分)已知数列满足.(Ⅰ)若成等差数列，求的值；(Ⅱ)是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.8.(本小题满分12分)已知关于的不等式，其中.(Ⅰ)当变化时，试求不等式的解集；(Ⅱ)对于不等式的解集，若满足(其中为整数集)，试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的值，并用列举法表示集合，若不能，请说明理由.-8-\n1.(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.2.(本小题满分12分)已知数列中，，对于任意的，有.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)数列满足，求数列的通项公式；(Ⅲ)设，是否存在实数，使数列是递增数列，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.-8-\n辽宁省实验中学2022—2022学年度上学期期中阶段测试高二理科(数学)试卷参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。1.A2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.D9.B10.C11.B12.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。13.14.15.16.1117．解：由题意设窗户的宽为米，则窗户的高为米………………2分窗户的面积(或)………………8分当且仅当时，即时，取“=”答：当窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米……………10分18.解：(1)由题意设………………2分当时，取最大值………………6分(2)由题意等腰直角三角形设点………………8分代入方程得，则或斜边BC长为………………12分19.解：由题意，，，………………2分若成等差数列，则，即解得………………6分(2)若数列为等比数列则必成等比数列，则，即解得，此时，公比………………10分又，所以，不存在，使数列为等比数列。………………12分20.解：(1)当时，；-8-\n当且时，；当时，；(不单独分析时的情况不扣分)当时，.………………8分(2)由(1)知：当时，集合中的元素的个数无限；当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.因为，当且仅当时取等号，所以当时，集合的元素个数最少.此时，故集合.………………12分21.(1)联立可得.设点的坐标为，点的坐标为，则，.于是有.因为的中点为，所以.因此的斜率为.因为直线交直线于，所以.故的斜率为，即得.因此与垂直，.………………6分(2)设.令，则.由于，故.因此(当时取到最大值，也即).-8-\n综上所述，的最大值为.………………12分22.(1)取，，则.所以，即是公差为2，首项为2的等差数列.所以.检验对任意成立………………4分(2)因为①所以.②①—②得：，所以.当时，，所以，满足上式.所以.………………8分(3)由题意得：，假设存在，使，则.所以.所以.若为正偶数时，恒成立，则，所以.所以.若为正奇数时，恒成立，则，-8-\n所以.所以.综上可知，存在实数.使时，恒成立.…………12分-8-
