思南中学2022-2022第一学期月考（数学）试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．双曲线x2－3y2＝9的焦距为( )A. 4 B．2 C．2 D．2.若α，β∈(0,)，则“α＝β”是“cosα＝cosβ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a>17的概率是( )A.B.C.D.4.以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D．以上都不对5．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A．2B.C.D.6．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是( )A.B.C.D.7.如果测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2，3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，则y与x之间的线性回归方程为( )A.＝1.04x＋2B.＝1.04x＋1.9C.＝1.05x＋1.9D.＝1.9x＋1.048．用系统抽样法从140名学生中抽取容量为20的样本，将140名学生从1～140编号，按编号顺序平均分成20组(1～7号，8～14号，…，134～140号)．若第16组抽出的号码是110，则第1组抽出的号码是( )A．4 B．5C．6 D．79．在下列各结论中，正确的是( )．①“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分不必要条件；-7-\n②“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“”为假的必要不充分条件；④“”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件；A．①②B．②④C．②③D．③④10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．8B．6C．3D．211.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）A.（）B.（）C.（）D.（）12．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，]D．(1,3]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．)13．若点A(1，2)到抛物线准线的距离为4，则p＝________.14．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出s的值为________．15．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图2所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分。．16．①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为真命题；②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x>x”；③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；-7-\n④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题;⑤a>是(a－2)(a－1)>0的必要不充分条件.其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)若双曲线C与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，求双曲线C的方程。．18.（本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A151B30xC60y（I）求x,y；（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率.19．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)若⊥，求k的值．20.已知：p：方程x2-2mx+1=0有两个不等的正根；q：不等式|x-1|＞m的解集为R。若p且q为假命题，为假命题，求实数m的取值范围。-7-\n21、已知双曲线C的两个焦点,点的曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程22、已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ACBCCDBBCBAD二、填空题：13、414、815、7316、①③17过程（略）-7-\n18：过程（略）（1）x=2，y=4（2）19：(Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1.故曲线C的方程为x2＋＝1.(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.故x1＋x2＝－，x1x2＝－.若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0.化简得－4k2＋1＝0.所以k＝±20:∵p：方程x2-2mx+1=0有两个不等的正根∴且2m>0,则m>1∵q：不等式|x-1|＞m的解集为R∴m<0又若p且q为假命题，为假命题，则p为假，q为真∴∴m的取值范围为（-）21：(Ⅰ)解：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4，将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求双曲线方程为(Ⅱ)解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0.∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴∴k∈(－)∪(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是|EF|=-7-\n=而原点O到直线l的距离d＝,∴SΔOEF=若SΔOEF＝，即解得k=±,满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和22：解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以-7-\n由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.-7-
