民勤一中2022-2022学年度第一学期第二次月考试卷高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是( )A．6B．3C．6D．123．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A．πB．πC．πD．π5．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( )A．快、新、乐B．乐、新、快C．新、乐、快D．乐、快、新6．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( )A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )8．在四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的( )A．垂心B．重心C．外心D．内心9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )9\nA．①③④B．②③④C．①②④D．①②③10．如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．3条11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为( )A．B．C．D．12．在正四面体（正四面体是各条棱都相等的三棱锥）P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDE⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________.14．点M是线段AB的中点，若点A、B到平面α的距离分别为4cm和6cm，则点M到平面α的距离为________．15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________.16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．三、简答题(本大题共6小题，共70分)17、(本小题满分10分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O//面AB1D1；（2）C⊥面AB1D1．9\n18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．19．(本小题满分12分)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥PEFG的体积．20、(本小题满分12分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？21．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)求直线AD与平面PAE所成的角的余弦值；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.9\n(1)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(2)求二面角P－BD－A的正切值．9\n高一数学答案一、选择题题号123456789101112答案BDCCAAAAACBC二、填空题13. [30°，90°]14.1cm或5cm15.90°16.a＞6三、简答题17、(本小题满分10分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O//面AB1D1；（2）C⊥面AB1D1．证明：(1)连结，设 连结，是正方体 是平行四边形 且 又分别是的中点，且 是平行四边形 面，面 面 5分 (2)面 又， 同理可证，又 面 10分18．(本小题满分12分如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．9\n[证明] (1)在△PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PA∥DE，PA⊄面DEF，DE⊂面DEF，因此PA∥面DEF.6分(2)△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，∴DF2＝DE2＋EF2，∴DE⊥EF，又PA⊥AC，∴DE⊥AC．∴DE⊥面ABC，∴面BDE⊥面ABC．12分19．(本小题满分12分)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥PEFG的体积．解：(1)法一：如图，取AD的中点H，连结GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP、DA的中点，∴PA∥FH.∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG.法二：∵E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．∴EF∥CD，EG∥PB.∵CD∥AB，∴EF∥AB.∵PB∩AB＝B，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴PA∥平面EFG.6分(2)由三视图可知，PD⊥平面ABCD，又∵GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD.∵四边形ABCD为正方形，∴GC⊥CD.9\n∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴S△PEF＝EF·PF＝.∵GC＝BC＝1，∴VP－EFG＝VG－PEF＝S△PEF·GC＝××1＝.12分20、(本小题满分12分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？9\n21．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1))求直线AD与平面PAE所成的角的余弦值；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析] (1)解：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.则∠DAE为直线PB与平面PAE所成的角,由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得DC＝2,DE=,则cos∠DAE=2/5.即直线AD与平面PAE所成的角的余弦值为2/5.6分(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.12分22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.(1)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；9\n(2)求二面角P－BD－A的正切值．[解析] (1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝.由(1)知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，则△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝.∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为.6分(2))过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE.而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝＝，HE＝·BH＝.∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.∴二面角P－BD－A的正切值为.12分9
