2022—2022学年度第一学期高三第三次月考理科数学一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}2.已知是虚数单位，若若为纯虚数，则实数a＝( )A． B．C．D．03．下列函数中，定义域是且为增函数的是( )A． B．C．D．4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的分别为14,18，则输出的＝( )A．0B．2C．4D．145．已知，且为第三象限角，则的值等于( )A.B．－C－D．.6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是-8-\n( )A．2B．4C．6D．127．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8.若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)9．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为( )A.B.C.D.10已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )A．－ B.C．－或D．011．若直线是曲线的一条切线，则实数＝( )A．B．C．D．12．已知函数的图象关于对称，是的导数，且当时，成立．已知，-8-\n，，则的大小关系是( )A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知m∈R，向量a＝(m，1)，b＝(2，－6)，且a⊥b，则|a－b|＝________.14．若________.15．则________．16．数列满足则=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本题满分12分)已知函数．(1)求的最小正周期和最小值；(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象．当时，求的值域．18.(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.①求C；②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．．19.(本题满分12分)-8-\n已知数列的前项和为且满足，．(1)求证：是等差数列；(2)求的表达式．20.(本题满分12分)已知数列满足＝，．(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)数列满足，为数列的前项和，求证：．.．21.(本题满分12分)已知常数，.(1)当＝－4时，求的极值；(2)当的最小值不小于时，求实数的取值范围．22.(本题满分10分)(选修4－4)：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(-8-\n为参数)．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．2022—2022学年度第一学期第三次诊断考试题高三理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CCDBDBBCACBA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.14.15.916.3600三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本题满分12分)解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－-8-\n＝sin－，………………………………………………6分因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－．(2)由条件可知g(x)＝sin－．当x∈时，有x－∈，从而y＝sin的值域为，那么g(x)＝sin－的值域为…………………….12分18.(本题满分12分)[解] ①由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝...............................................6分②由已知得absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.……………………..12分19.(本题满分12分)解：(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，n≥2．因此－＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．…………..6分-8-\n(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝．由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，又∵a1＝，不适合上式．∴an＝...................12分20.(本题满分12分)证明：(1)由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10，即＝10．所以数列是等比数列，其中首项为a1＋＝100，公比为10，所以an＋＝100×10n－1＝10n＋1，即an＝10n＋1－．(2)由(1)知bn＝lg＝lg10n＋1＝n＋1，即＝＝－．所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－<21.(本题满分12分)解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2，无极大值．…….6分(2)∵f′(x)＝，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，-8-\n∴f(x)在上单调递增；由f′(x)<0得，0<x<－，∴f(x)在上单调递减．∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2×.根据题意得f＝aln＋2×≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln2≤0，解得－2≤a＜0，∴实数a的取值范围是[－2,0)．……………………….12分22.(本题满分10分)解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1．C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．………………….5分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝＝．当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为．…………………………………………………….10分-8-
