兰州一中2022-2022-1学期高二年级期中考试试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集为( )A.(-∞,0]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4等于( )A.8B.17C.33D.213.在△ABC中，若，则角B为( )A.B.C.D.4.已知为等比数列，是它的前项和.若，且与2的等差中项为，则=( )A.31B.32C.33D.345.已知，且，则的最小值为( )A.4B.C.1D.6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7.已知,则下列推理中正确的是( )A.B.-9-\nC.D.8.设数列是等差数列,若以表示的前项和，则使达到最大值的是( )A.B.C.D.9.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A.240(－1)mB.120(－1)mC.180(－1)mD.30(＋1)m10.在中，分别为角的对边，且，则( )A.成等比数列B.成等差数列C.成等比数列D.成等差数列11.满足约束条件,若目标函数的最大值为12，则的最小值为( )A.B.C.D.12.已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋＝tanBtanC，则△ABC的面积为( )A.B.3C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=,则__________.14.数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn－1)＝n＋1，则an＝________.15.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________.-9-\n16.等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.18.(本小题满分12分)解关于x的不等式：(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n.（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn.20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cosC，cosA)，且n·m＝bcosB.（1）求角B的值；（2）若cos＝sinA，且|m|＝，求△ABC的面积.-9-\n21.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，（1）证明:是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）证明:＋＋…＋<22.(本小题满分12分)若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.-9-\n兰州一中2022-2022-1学期高二年级期中试题答案数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）题号123456789101112答案ACDABDCBBAAC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．14．15．16.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.(本小题满分10分)在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.18.(本小题满分12分)-9-\n解关于x的不等式：(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.解：(1)当a＝-1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2.(2)当a>-1时，原不等式可转化为若-1<a<，则>2，∴2<x<；若a＝，则＝2，∴x∈∅；若a>，则<2，∴<x<2.(3)当a<-1时，原不等式可转化为.∵a<-1，∴<2，∴x<或x>2.综上可知，当a>时，原不等式的解集为{x|<x<2}；当a＝时，原不等式的解集为∅；当-1<a<时，原不等式的解集为{x|2<x<}．当a＝-1时，原不等式的解集为{x|x>2}．当a<-1时，原不等式的解集为{x|x<或x>2}．19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.解：(1) 因为a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2＝2×1适合上式.综上，数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*).-9-\n(2)由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cosC，cosA)，且n·m＝bcosB.(1)求角B的值；(2)若cos＝sinA，且|m|＝，求△ABC的面积.解 (1)由m·n＝bcosB，得cosC＋cosA＝bcosB，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB，sinB＝2sinBcosB，∵0<B<π，sinB≠0，∴cosB＝，∴B＝.(2)C＝π－A－B＝－A，cos＝sinA⇒cos＝sinA⇒cosA＝sinA⇒tanA＝∵0<A<π⇒A＝，∴C＝π－－＝.在Rt△ABC中，∵a＝csin＝c，又|m|＝，即a2＋c2＝20，∴a＝2，c＝4，b＝＝2，△ABC的面积S＝×2×2＝2.-9-\n21.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，（1）证明:是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）证明:＋＋…＋<证明 (1)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3.又a1＋1＝3，所以是首项为3，公比为3的等比数列.∴an＋1＝，因此{an}的通项公式为an＝(2)由(1)知＝因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤于是＋＋…＋≤(1＋＋…＋)＝<.所以＋＋…＋<.22.(本小题满分12分)若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.∴bn＝2n－1.-9-\n(2)由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为Tn＝1＋＋＋…＋，∴Tn＝＋＋…＋＋，两式作差，得∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，n＝2k(k∈N*)时，λ<4－，取n＝2，∴λ<3.n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－，取n＝1，∴λ>－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).-9-
