湖南省怀化三中2022-2022学年高二数学下学期期中试题理时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。1.设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bcB.C.a2>b2D.a3>b32.动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线3.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（）A．B.C．D.5.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）（A）（B）（C）（D）6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 ( )A．B．C．D．7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）（A）（B）（C）（D）8.设等差数列的前项和为，若,,，则（）A.B.C.D.9.已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）（A）（B）（C）（D）-8-\n10.已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=.12.不等式的解集为.13.设满足约束条件，则的最大值为.14.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、成等比数列，则15.直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为，则梯形的面积为.三.解答题：16.（12分）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),则当边长x为何值时，花园面积最大并求出最大面积-8-\n17.（12分）已知有两个不等的负根，无实根，若为真，为假，求m的取值范围.18.（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.19.（12分）设为数列{}的前项和，已知，2，N（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和。-8-\n20.(13分)双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．21.(14分)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.（i）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（ii）当最小时，求点的坐标.-8-\n2022年下期期中考试高二年级理科数学试题答案选择题：1------5:DDACD6------10：DBCDD填空题：11、12、13、314、15、48解答题：16、（12分）设矩形高为y,由三角形相似得:.17、（12分）解：∵p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根，∴，∴m＞2，又∵q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，∴，∴1＜m＜3，-----------6分又p或q为真，p且q为假，∴当p真q假时，或，∴m≥3；当p假q真时，，∴1＜m≤2；综上所述，m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}。-----------12分18、（12分）(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,-8-\n所以tanB=1,解得B=-----------6分(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面积为acsin≤×(4+2)=+1.所以△ABC面积的最大值为+1.---------12分19、（12分）（Ⅰ）令，得，因为，所以，令，得，解得。当时，由，两式相减，整理得，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，。--------------5分(Ⅱ)由(I)知，记其前项和为，于是①②①-②得从而--------------12分20、(13分)（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．-------5分（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．-8-\n设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）•=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+•k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．-------13分21、(14分)（1）依条件，所以椭圆C的标准方程为--------------3分（2）设，，，又设中点为，①因为，所以直线的方程为：，，所以，-8-\n于是，，所以．因为，所以，，三点共线，即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．--------------8分②，，所以，令（），则（当且仅当时取“”），所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或.----14分-8-
