湖南省2022年上学期湖湘名校教育联合体高三数学入学考试试题答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【命题意图】本题考查集合交并补运算的意义，改编自2022版教材必修1第12页B组第4题，属基础题.【答案】B【解析】根据知图中阴影集合为，从而.故选B.2.【命题意图】本题考查复数乘方运算，改编自2022版教材选修2-2第116页A组第1题（4），属基础题.【答案】C【解析】，故选C.3.【命题意图】本题以简单立体几何计数为背景考查排列组合及组合数的计算，源自2022版教材选修2-3第41页B组第1题（5）题，属于基础题.【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有70-12=58个．故选D．18/18\n4.【命题意图】本题改编自2022版教材必修1第83页B组第6题，考查指数和对数的运算、估算和数据处理能力，属于中档题.【答案】B【解析】由已知时，，故．污染物减少即，由故选B.5.【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，属于中档题.【答案】B【解析】由，故选B.6.【命题意图】本题主要考查以实际问题为背景的立体几何问题，侧重考查直观想象的核心素养，属中档题．【答案】C【解析】因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持，所以又因为为定值，所以也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故A正确；作出简图如下，，所以，故B正确.因为，所以不可能有，故C不正确；18/18\n设，则，，当时，直线与平面所成角最大；此时直线与平面所成角的正弦值为，故D正确；故选C.7.【命题意图】本题考查解析法研究平面几何问题，向量数量积的运算，圆外一点与圆上的点的距离最值问题，属中档题．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则．设，则，∴由已知得：，即，∴点在以为圆心，半径为的圆上．又表示圆上的点到原点的距离，∴．18/18\n故选A．8.【命题意图】本题考查求分段函数解析式，利用图像研究函数零点，考查等价转化思想，数形结合思想，属中档偏难题.【答案】A【解析】由得，所以，所以函数恰有2个零点等价于函数与函数的图象有2个公共点，由图象可知．故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的定义，侧重考查数学抽象的核心素养，源自2022版教材选修2-1第49页A组第7题.【答案】ABD【解析】对A,如图1，连接QA,由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.18/18\n图1图2图3对B，如图2，当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点；对C，如图3，连接QA,由已知得|QA|＝|QP|.所以||QA|-|QO||＝||QP|-|QO||＝|OP|＝r.又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线.对D,由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，综合A,B,C可知点Q的轨迹不可能为抛物线.故选ABD.10.【命题意图】本题考查线性回归方程的性质与实际意义，需要注意回归方程过样本中心点，属于基础题．【答案】ABC【解析】对A，由表可知随增大而减少，可认为变量线性负相关，且相关性强，故A正确.对B,价格平均,销售量.故回归直线恒过定点，故，故B正确.18/18\n对C,当时,，故C正确.对D,相应于点的残差约为，故D不正确.故选ABC11.【命题意图】本题考查正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题．【答案】BCD【解析】．对A，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，结论不正确．对B，当时，，则在上是减函数，结论正确．对C，因为f(-)=0，得到函数图象的一个对称中心为，结论正确．对D，因为，结论正确．故选BCD．12．【命题意图】本题以不等式为载体考查常用逻辑用语，不等式大小比较，导数应用等综合知识，属中档偏难题。【答案】BD【解析】对A，（当且仅当时取等号），又，故充分性成立；18/18\n又取，，必要性不成立，故A不正确.对B,考查函数，因为单调递减，故．故B正确.对C,因为又设，从而递增，故，所以C错误.对D，因为为钝角，所以，有，所以，又因为函数在上是减函数，故有，所以D正确．故选BD,三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【命题意图】本题考查二项式定理与组合数计算，属基础题.【答案】【解析】展开式的通项为故，常数项为．18/18\n14.【命题意图】本题考查四面体外接球表面积计算，考查直观想象和数学运算的核心素养，属基础题.【答案】【解析】的外接球直径为，，.15.【命题意图】本题以双曲线、圆为背景，主要考查圆的切线、双曲线的简单几何性质，属中档题.【答案】【解析】如图，易知，，可知，且中，斜边上的高为，即.由渐近线的斜率为且，知，故．16.【命题意图】本题以中国文化为背景考查数列18/18\n求通项和前n项和的问题，考查数据处理能力，属中档偏难题。【答案】(1)341；(2)．【解析】当n为偶数时，；当n为奇数时，18/18\n四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【命题意图】本题以原创开放性问题为背景，考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换，考查数据的选择与处理能力，属于中档题.【答案】无论选择哪个条件，都有．【解析】方案一：选条件①：由面积关系得：………5分在中，由余弦定理得，所以．………10分方案二：选条件②：设，则，由面积关系得：…5分在中，由余弦定理得，所以．………10分方案三：选条件③：设，分别在与中由余弦定理得：18/18\n，………5分，∴．………10分另法提示：中线加倍延长，由余弦定理可求．18.【命题意图】本题源自2022版人教A版教材必修5第61页A组第1题（2），考查了等比数列的通项公式和前n项的和公式，错位相减法求和，意在考查学生的数学计算和数据处理能力，属中档题．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由，或．………5分（2）由（1）知，………7分相减得：………9分18/18\n………12分19.【命题意图】本题以“创建全国文明城市”为背景，主要考查了频率分布表、正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查逻辑推理与数学运算能力，属于中档题．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）根据表格中的数据，可得：，所以．………5分（2）由题意，可得，则获赠话费X的可能取值为，，，，，，………10分则X的分布列为：X30506080100P故期望值（元）．………12分20.【命题意图】该题以原创立体几何图形为背景考查平面几何元素求解、线面垂直的判定和性质、二面角的向量求法，属于中18/18\n档偏难题，考查直观想象、数学抽象、数据处理的核心素养．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连结并延长，交于，交圆柱侧面于．又圆柱中，，，平面，………3分不论在何处，总有平面………5分（2）如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，设，则，在中，从而.………7分设平面的一个法向量为，则有，18/18\n取，得，………10分而平面的一个法向量为，于是得：，故所求锐二面角的余弦值为．………12分21.【命题意图】本题以余弦函数为背景考查利用导数解决函数不等式问题，涉及函数构造、等价转化、放缩转化、不等式证明等典型问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养．属偏难题．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：设，则．由知在上递增，．从而是增函数，，故原不等式成立．………5分（2）已知对恒成立．设，一方面，由．………7分另一方面，当时，．18/18\n利用（1）中的结论有：．………9分构造函数，则．递减．从而，，恒成立．综上得：．………12分另法提示：已知对恒成立．构造函数，可知，由（1）知单调递减，则．(请自行酌情给分)22.【命题意图】本题根据2022版人教A版教材选修2-1第81页B组第3题改编，考查直线方程和抛物线的标准方程，直线过定点，弦长公式，利用导数求函数最值等综合运用，考查数学计算、逻辑推理能力，属于难题．【答案】（1）（2）18/18\n【解析】（1）设抛物线的标准方程为，由已知得．故抛物线的标准方程为．………3分（2）先证直线过定点．设直线的方程为，．联立故直线过定点．………6分由已知再设直线的方程为，则直线的方程为．联立，联立，18/18\n………9分设，则，由易知在递减，在上递增，因此在取最小值，从而面积取得最小值，此时，故直线的方程为．………12分另法提示：设的斜率为，则的斜率为．可知．，从而直线，直线．设，则．(以下同原解法，从略，请自行酌情给分．)18/18\n欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org18/18
