湖南省2022年上学期湖湘名校教育联合体高三数学入学考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，则集合（）A．B．C．D．2.设复数，则（）A．B．C．D．3.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70B．64C．60D．584.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物,那么污染物减少需要花的时间约为（）A．13小时B．15小时C．17小时D．19小时5.已知，则（）A．B．C．D．11/11\n6.大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持，.设，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A．点A在某个定球面上运动；B．与水平地面所成锐角记为，直线与水平地面所成角记为，则为定值；C．可能在某个时刻，；D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为．7.已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．8.已知函数若函数恰有2个零点，则的取值范围是()A．B．C．D．11/11\n二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是( )A.当点A在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆；B.点Q的轨迹可能是一个定点；C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支；D.点Q的轨迹不可能是抛物线．10.年月日，某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：价格99.51010.511销售量1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有()A．变量线性负相关且相关性较强；B．；C．当时,的估计值为；D．相应于点的残差约为．11.已知函数的最小正周期是，则下列判断正确的有（）.A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；B．函数在区间上是减函数；11/11\nC．函数的图象关于点对称；D．函数取得最大值时的取值集合为．12．下列说法正确的是()A．若，则“”是“”的充要条件；B．；C．；D．中，若为钝角，则．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式的常数项为________．14.在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为________．15.设双曲线C：的中心为，上、下焦点分别为F1，F2，过F1作以实轴为直径的圆的切线，切点为，与C的一条渐近线交于轴下方的点．若，则C的离心率为_______．11/11\n16.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906–1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，记的前项和为，则：(1)________；(2)________．11/11\n四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分10分）在①是边上的高，且，②平分，且，③是边上的中线，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．问题：在锐角中，已知，是边上一点，________，求边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本题满分12分）设等比数列的前n项和为，已知，．11/11\n（1）求公比；（2）若时，．求数列的前n项和．19.（本题满分12分）“全国文明城市”已成为11/11\n一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”．为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查（一位市民只参加一次）．通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：组别频数112222525114（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间的概率；（注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表）赠送话费的金额（元）3050概率（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如右表所示：现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据：①；②；③若，则，．11/11\n20.（本小题满分12分）如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动．（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．21.（本题满分12分）已知函数．（1）求证：；（2）若，求的取值范围．11/11\n22.（本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线为．（1）求抛物线的标准方程；（2）点在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程．11/11\n11/11
