衡阳八中2022-2022学年高二上学期六科联赛试题（12月）数学（文）请注意：时量：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果，那么；④若，则。其中，真命题有( ).A.①B.①③④C.①④D.①②③④2．若运行右图的程序，则输出的结果是( ).A=9A=A+13PRINTAENDA．4B．13C．9D．223．下列四个命题中，假命题为( ).A．，使成立B．，使成立C．，均成立D．，均成立4．抛物线的焦点到准线的距离是( ).A.B.C.D.5．椭圆上的一点到左焦点的距离为2，是的中点，则为( ).A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）．A．B．C．D．11/127．函数的单调递减区间是( ).A．B．C．D．8．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于( ).A．B．C．4D．9．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于( ).A．B．C．D．10．已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为则“点在直线上”是“”的()条件.A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要11．双曲线：（，）的焦点为、，抛物线：的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为( ).A．B．C．D．12．设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( ).A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．“”是“”的条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.）11/1214．已知双曲线的左、右顶点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．15．在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大.16．函数,若,求的取值范围____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）已知且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数，不等式恒成立.（1）写出命题的否定，并求非为真时，实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.19．（本小题满分12分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.11/1220．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证21．（本小题满分12分）已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数.（1）求过点的图象的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；（3）当时，均有恒成立，求的取值范围.11/122022年下期衡阳市八中高二六科联赛数学（文科）试题命题人：陈钊审题人：刘一坚请注意：时量：120分钟满分：150分一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ADDBBBAAACCA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.充分非必要；14.；15R；16. (0,1e)∪(e,+∞) ；答案注解：9．A【解析】：因为是偶函数所以，即，解得.所以所以设切点横坐标诶所以设所以，解得即故答案选A.10．C【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到：，所以，由韦达定理可得，故在直线上；（2）若在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上”是“”的充要条件，故选C.11/1211．C【解析】∵抛物线的方程为∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为∵双曲线：（，）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴，∵以为直径的圆过∴，即∵∴，即∴∵椭圆的离心率为∴椭圆的离心率的平方为故选C.12．A【解析】设.恒过(，恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.因为，所以当时，,单调递减；当时，,单调递增.所以.作出函数图象如图所示：11/12根据题意得：，解得：.故选A.13．充分非必要【解析】因为当x>2时，成立；反之，不成立，如x=-1时满足,但x>2不成立．所以“”是“”的充分非必要条件.14．【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率.15．R【解析】设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+DO=R+,解得x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为S=x·h=从而令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下:h(0,R)R(,2R)S′+0－11/12S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.16． (0,1e)∪(e,+∞) 【解析】，∴f-x=e-x+cos-x=ex+cosx=fx，∴fx是偶函数，当x>0时，，∴fx在0,+∞上递增，由fx是偶函数可得fx在-∞,0上递减，flnab+flnba-2f1>0，即flnab+f-lnab-2f1>0化为2flnab>2f1，flnab>f1，等价于lnab>1，lnab>1或lnab<-1，得ab>e或0<ab<1e，即ab的取值范围是0,1e∪e,+∞，故答案为0,1e∪e,+∞.17．(1)fx的递增区间为(-∞,0),(23,+∞)，递减区间为(0,23)．(2)fx最大值=f2=4，fx最小值=f-1=-2．【解析】：（1）∵fx=x2x-1=x3-x2，∴f'x=3x2-2x．由f'x=3x2-2x>0，解得x<0或x>23；所以fx的递增区间为(-∞,0),(23,+∞)，递减区间为(0,23)．（2）由（1）知x=0是fx的极大值点，x=23是fx的极小值点，所以fx极大值=f0=0，fx极小值=f23=-427，又f-1=-2，f2=4，所以fx最大值=f2=4，fx最小值=f-1=-2．18．（1）0<c≤12；（2）c的取值范围是0，12∪1,+∞.【解析】：（1）命题q的否定是：存在实数,使得不等式x2-2x+c≤0成立.非q为真时，δ=-22-4c≥0，即c≤12，又c>0且c≠1，所以0<c≤12.11 12="">1，因为命题"p∨q"为真命题，"p∧q"为假命题，所以命题p和q一真一假，若p真q假，则0<c<10<c≤12所以0<c≤12，若p假q真，则c>112<c<1或c>1，所以c>1.综上：c的取值范围是0，12∪1,+∞19．（1）（2）【解析】：（1）设所求双曲线方程为代入点得，即，所以双曲线方程为，即.（2）.直线的方程为.设联立得，满足由弦长公式得点到直线的距离.所以20．（1）；（2）详见解析．【解析】：解：（1）时，所以由题11/12（2）由（1）可得只需证设，令，得。当时，，当时，，所以，所以，21．(1)x23+y2=1(2)(0,10]【解析】（1）由题意可知：a2=3，又椭圆C1的上顶点为0,b，双曲线C2的渐近线为：y=±33x⇔x±3y=0，由点到直线的距离公式有：32=+3b2⇒b=1.∴椭圆方程：x23+y2=1（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入x23-y2=1，消去y并整理得：1-3k2x2-6kmx-3m2-3=0，要与C2相交于两点，则应有：1-3k2≠036k2-m2-41-3k2-3m2-3>0⇒1-3k2≠0m2+1>3k2①设Q1x1,y1,Q2x2,y2，则有：x1+x2=6km1-3k2，x1⋅x2=-3m2-31-3k2.又OQ1⋅OQ2=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2.又：OQ1⋅OQ2=-5，所以有：11-3k2[(1+k2)(-3m2-3)+6k2m2+m2(1-3k2)]=-5，⇒m2=1-9k2，②将y=kx+m，代入x23+y2=1，消去y并整理得：1+3k2x2+6kmx+3m2-3=0，要有两交点，则Δ=36k2m2-41+3k23m2-3>0⇒3k2+1>m2.③11/12由①②③及有：0<k2≤19设m1x3,y3、m2x4,y4.有：x3+x4=-6km1+3k2，x3⋅x4=3m2-31+3k2则m1m2=1+k2⋅36k2m2-43m2-31+3k21+3k22=1+k2⋅-43m2-3-9k21+3k22.将m2=1-9k2代入有：m1m2=1+k2⋅144k21+3k22⇒m1m2=12k1+3k21+k2.⇒m1m2=12k21+k21+3k22,令t=k2,t∈(0,19]令ft=t1+t1+3t2⇒f't=1-t1+3t3,t∈(0,19].所以f't>0在t∈(0,19]内恒成立，故函数ft在t∈(0,19]内单调递增，故ft∈(0,572]⇒M1M2∈(0,10].22．(1)(2)（3）【解析】：（1）由题意得，函数的定义域为，设切点坐标为，则切线方程为把点代入切线方程，得：，过点的切线方程为：（2）∵∴令要使存在两个极值点，，则方程有两个不相等的正数根.又，.11/12故只需满足即可，解得：（3）由于在上恒成立.∴在上恒成立.令，则当时，，令，则在上单调递增又，∴存在便得，即，故当时，，此时当时，此时.故函数在上递增，在上递减从而：令，，则在上单调递增，∴，故.11/12</k2≤19设m1x3,y3、m2x4,y4.有：x3+x4=-6km1+3k2，x3⋅x4=3m2-31+3k2则m1m2=1+k2⋅36k2m2-43m2-31+3k21+3k22=1+k2⋅-43m2-3-9k21+3k22.将m2=1-9k2代入有：m1m2=1+k2⋅144k21+3k22⇒m1m2=12k1+3k21+k2.⇒m1m2=12k21+k21+3k22,令t=k2,t∈(0,19]令ft=t1+t1+3t2⇒f't=1-t1+3t3,t∈(0,19].所以f't></c<1或c></c<10<c≤12所以0<c≤12，若p假q真，则c></c≤12.11></c≤12；（2）c的取值范围是0，12∪1,+∞.【解析】：（1）命题q的否定是：存在实数,使得不等式x2-2x+c≤0成立.非q为真时，δ=-22-4c≥0，即c≤12，又c></ab<1e，即ab的取值范围是0,1e∪e,+∞，故答案为0,1e∪e,+∞.17．(1)fx的递增区间为(-∞,0),(23,+∞)，递减区间为(0,23)．(2)fx最大值=f2=4，fx最小值=f-1=-2．【解析】：（1）∵fx=x2x-1=x3-x2，∴f'x=3x2-2x．由f'x=3x2-2x>
