湖北省武汉市第二中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学（文）试题考试时间：2022年2月4日 上午9：00—11：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中正确的是（ ）A.若事件A与事件B是互斥事件,则;B.若事件A与事件B满足条件:,则事件A与事件B是对立事件;C.一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件;D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.用反证法证明命题:“a,b∈N,若ab不能被5整除,则a与b都不能被5整除”时,假设的内容应为（ ）A.a,b都能被5整除B.a,b不都能被5整除C.a,b至少有一个能被5整除D.a,b至多有一个能被5整除3.已知为纯虚数(是虚数单位)则实数（ ）A.B.C.－1D.－24.下列框图属于流程图的是（ ）A.B.C.D.5.若双曲线的渐近线方程为,则双曲线焦点F到渐近线的距离为（ ）A.2 B.3 C.4 D. 56.已知，之间的一组数据：24681537则与的线性回归方程必过点（ ）A.(20,16)B.(16,20)C.(4,5)D.(5,4)7.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是（ ）A.B.C.D.8\n8.已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点,则l的方程是（ ）A.x＋2y+8＝0B.x＋2y－8＝0C.x-2y－8＝0D.x-2y+8＝09.下列说法中不正确的个数是（ ）①命题“x∈R,≤0”的否定是“∈R,>0”;②若“pq”为假命题,则p、q均为假命题;③“三个互不相等的数a,b,c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件A.0B.1C.2D.310.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.2二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）11.已知高一年级有学生450人,高二年级有学生750人,高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为的样本,且每个学生被抽到的概率为0.02,则应从高二年级抽取的学生人数为.12.在空间直角坐标系O－xyz中,轴上有一点到已知点和点的距离相等,则点的坐标是.13.某学生5天的生活费(单位:元)分别为:,,8,9,6.已知这组数据的平均数为8,方差为2,则.14.如图所示的算法中,,,,其中是圆周率,是自然对数的底数,则输出的结果是.双曲线的一个焦点为,则的值为___________,双曲线的渐近线方程为___________.16.集合中,每两个相异数作乘积,将所有这些乘积的和记为,如:;;则.（写出计算结果）17.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线.如图是双曲线的图象,8\n给出以下几个说法:①双曲线是黄金双曲线;②若,则该双曲线是黄金双曲线;③若为左右焦点,为左右顶点,(0,),(0,﹣)且,则该双曲线是黄金双曲线;④若经过右焦点且,,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共5大题，共65分）18.(12分)命题p:“”,命题q:“”,若“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.19.(13分)已知三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0).(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为,求以为焦点且过点的双曲线的标准方程.8\n20.(13分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.(1)求全班人数及分数在之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中间的矩形的高;(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.21.(13分)如图,在三棱柱中,侧棱底面,,为的中点,(1)求证:平面;(2)过点作于点,求证:直线平面;(3)若四棱锥的体积为3,求的长度.22.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且＝λ,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.8\n武汉二中2022——2022学年上学期高二年级期末考试数学（文科）试卷参考答案题号12345678910答案DCACBDABBA11.1512.13.314.15.－1; 16.32217.①②③④18.∴⊿=4a2-4（2-a）≥0,即,a≥1或a≤-2,p真q也真时∴a≤-2,或a=1若“p且q”为假命题,即.考点:全称命题与特称命题;简易逻辑.19.（1）;（2）.【解析】试题分析:（1）根据椭圆的定义,,又,利用,可求出,从而得出椭圆的标准方程,本题要充分利用椭圆的定义.（2）由于F1、F2关于直线的对称点在轴上,且关于原点对称,故所求双曲线方程为标准方程,同样利用双曲线的定义有,又,要注意的是双曲线中有,故也能很快求出结论.试题解析:（1）由题意,可设所求椭圆的标准方程为,其半焦距,故所求椭圆的标准方程为;（2）点P（5,2）、（－6,0）、（6,0）关于直线y＝x的对称点分别为:,,8\n,设所求双曲线的标准方程为,由题意知半焦距=6,∴,故所求双曲线的标准方程为.考点:（1）椭圆的标准方程;（2）双曲线的标准方程.解：（I）由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为全班人数为所以分数在之间的频数为（II）分数在之间的总分为56+58=114；分数在之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在之间的总分约为85×4=340；分数在之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为估计平均分时，以下解法也给分：分数在之间的频率为2/25=0.08;分数在之间的频率为7/25=0.28；分数在之间的频率为10/25=0.40;分数在之间的频率为4/25=0.16分数在之间的频率为2/25=0.08;所以，该班的平均分约为频率分布直方图中间的矩形的高为（III）将之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）；（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）；（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是21.(1)证明:连接设,连接………1分是平行四边形,点O是的中点,8\n是AC的中点,是的中位线,…………………………………………3分又AB1//平面BC1D…………………………………………5分(2)………………………………………7分,又……………………9分直线BE平面………………………………………10分(2)的解法2:……7分直线BE平面………………………………………10分(3)【解析】(1)连接B1C,设,连接证明即可.(2)因为,再证即可.(3)设,再根据建立关于x的方程,解出x值.由(2)知BE的长度是四棱锥B—AA1C1D的体高设……………11分 8\n……………12分 ………………13分 …………………………………………………14分22.（1）y＝x2(x≠0且x≠－1)（2）(1,1) 【解析】(1)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则由kOP＋kOA＝kPA 得,整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1).(2)设P(x1,),Q(x2,,M(x0,y0),由＝λ可知直线PQ∥OA,则kPQ＝kOA,故,即x2＋x1＝－1,由O、M、P三点共线可知,＝(x0,y0)与＝(x1,)共线,∴x0－x1y0＝0,由(1)知x1≠0,故y0＝x0x1,同理,由＝(x0＋1,y0－1)与＝(x2＋1,－1)共线可知(x0＋1)(－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0,即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0,由(1)知x2≠－1,故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0,将y0＝x0x1,x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0,整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1,由x1≠－1得x0＝－,由S△PQA＝2S△PAM,得到QA＝2AM,∵PQ∥OA,∴OP＝2OM,∴＝2,∴x1＝1,∴P的坐标为(1,1)8
