湖北省宜昌市金东方高级中学2022-2022学年高二数学上学期期末考试试题理时间：120分钟满分：150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某大学数学专业一共有位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有位同学的编号应该为()A．B．C．D．2.命题“对任意，都有”的否定为()A.对任意，都有B.对任意，都有C.存在，使得D.存在，使3．如图，若时，则输出的数等于()A.B.C.D.4．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A.B.C.D.6．圆和圆的公共弦长为( )10\nA．B．C．D．7．2022年亚洲杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．18种B．36种C．48种D．72种8．下列命题中，正确的个数为（）①设随机变量服从正态分布N（0，1），若；②“”是“”的充分不必要条件；③“”是“”的必要不充分条件；④“”是“”的既不充分又不必要条件；A．0B．1C．2D．39．记确定的区域为,确定的区域为,在区域中每次任取个点,连续取次得到个点,则这个点中恰好只有个点在区域中的概率为()A．B．C．D．10.圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点分别是，则的最小值是()A.12B.10C.6D.5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11.已知直线：,：,若,则的值为．12.总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7815657208026314070243699728080510\n3204923449358200362348696936748113．在的展开式中，的系数为．14、已知直线，点，若在直线上存在一点，使得最大，则点坐标为15．设有一组圆：(为正整数)，下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相交②存在一条定直线与所有的圆均不相交③所有的圆均不经过原点④存在一条定直线与所有的圆均相切其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．（本小题满分12分）高二某班名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组…,第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到）．17．(12分)已知p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根。若求实数a的取值范围．18.（本小题满分12分）已知的顶点边上的中线所在直线方程为，10\n边上的高所在直线方程为.求（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.19.(本小题满分12分）已知：设.(1)求的值；(2)的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；（3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.20、（本小题满分13分）中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2022年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。21．（本小题满分14分）如图，圆：．（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）求圆心的轨迹方程；10\n（3）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．10\n高二理数答案一、选择题BCDBCADBAC二、填空题11、0或12、05；13、；14、（3，2）；15、①②③④16．（本小题满分12分）高二某班名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组…,第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到）．解：（1）根据直方图可知成绩在内的人数：人（2）由图可知众数落在第三组是因为数据落在第一、二组的频率数据落在第一、二、三组的频率所以中位数一定落在第三组中.假设中位数是，所以解得中位数17．(12分)已知p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根。若求实数a的取值范围．10\n18.（本小题满分12分）已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.解：（1）由已知得直线的方程为：………………3分解方程组得…………………5分（2）设，则………………………6分在直线上即………8分在直线上…………………9分由得，即…………………………10分于是直线的方程为：…………………………12分19.(本小题满分12分）已知：设.(1)求的值；(2)的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；（3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.10\n解：（1）由已知得：……………2分解得:…………………………………4分（2）当时，展开式的通项为要为有理项则为整数，此时可以取到0,3,6,……………7分所以有理项分别是第1项，第4项，第7项；………………………8分（3）展开式的通项为的展开式中共有8项,其中第四项和第五项的二项式系数最大,而第五项的系数为正且等于第五项的二项式系数,故第五项的系数最大,即系数最大项为=…………………10分第四项的系数为负且等于第四项二项式系数的相反数,故第四项的系数最小,即系数最小项为…12分20、中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2022年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：.………………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，10\n按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为人，“非高个子”为人；则至少有1人为高个子的概率＝1－……………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值为0,1，2,3；故，，，，即的分布列为：0123＝0＋1＋2＋3＝。答：（略）……………………………1221．（本小题满分14分）如图，圆：．（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）求圆心的轨迹方程；（3）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由圆与轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆的方程化成标准方程为：，由求得.即可得到所求圆的方程为：；10\n（2）求圆心点坐标为，则圆心点的轨迹方程为（3）令，得，即所以假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入得，，设从而因为而因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得．10
