湖北省利川市文斗乡长顺2022-2022学年高二数学下学期期末考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是可导函数在点处取极值的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试2次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（）A．B．C．D．3．若函数在点x=1处连续，则实数a等于（）A.4B.C.D.4．下列命题中不正确的是（其中表示直线，表示平面）()A.B.C.D.5．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有()A.20种B.30种C.42种D.56种6．已知，则的值 （ ）A.7 B.8 C.9 D.107．已知上有最大值，那么此函数在上的最小值为（）A.B.C.D.12\n8．已知随机变量，若，则分别是（）A.6和B.2和C.2和D.6和9．已知，且函数在上具有单调性，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.oxy10．若函数f(x)=的图象如图所示，则一定有（）A.a<0b>0c>0d<0B.a<0b<0c>0d<0C.a<0b>0c<0d<0D.a<0b<0c<0d<0第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据.12．曲线在点处的切线方程为 ________________。13．某市乘公车从A站到B站所需时间（单位：分）服从正态分布N（20，202），甲上午8：00从A站出发赶往B站见一位朋友乙，若甲只能在B站上午9：00前见到乙，则甲见不到乙的概率等于____________(参考数据：，，)14．走廊上有一排照明灯共盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是____________.15．一直角梯形，，为中点，沿把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使、12\n重合，则三棱锥的体积为。答题卷（理）分数___________.题号12345678910答案题号1112131415答案三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分12分）有一粒质地均匀的正方体骰子，6个表面点数分别为1、2、3、4、5、6，甲、乙两人各掷一次，所得点数分别为ξ1，ξ2，记η=ξ1－ξ2．（1）求η>0的概率；（2）求η>2的概率．17．（本小题满分12分）用数学归纳法证明能被整除．ABCDEF18．（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.12\n(1)求证AE⊥平面BCE；(2)求二面角B—AC—E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离.19．（本小题满分1２分）如图两点之间有条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量；112234AB(1)设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，才能保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；(2)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.12\n20．（本小题满分13分）已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足.（1）求的值；（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”.21．(本小题满分14分)定义函数fn(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为．12\n（1）求证：fn(x)≥nx；（2）设，求证：0<x0<1；（3）是否存在区间[a，b](－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．2022年春季高二数学期末考试答案（理）参考答案BADBBBABAA5．B解析：6．B解析：令x=0，则a0=n，而an=1；令x=1，则故，∴n=8.7．A解析：，由得x=0或2.∵，显然，∴m=3，最小值为8．B解析：，9．A解析：可得∴∵的单调增区间，单调减区间为（0，b），由或知b≥e或b≤1.12\n10．A解析：由f(x)可求得并且由f(x)的图象可得的图象。∴∴13．解析：记则所求概率14．解析：15．解析：其中16、解：（1）显然p(η>0)=p(η<0)．而有（2）若ξ2=1，则ξ 1可取4，5，6．若ξ2=2，则ξ 1的可能值为5，6．若ξ2=3，则ξ 1的可能值为6．故17、证明：（1）当n＝1时，（2）假设当n＝k时，12\n这就是说，当n＝k＋1时，根据（1）和（2）可知，命题对任何n∈N*都成立．18、解法一：(1)平面ACE.∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.(2)连结BD交AC于C，连结FG，∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.又直角，∴二面角B—AC—E等于(3)过点E作交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h，12\n平面BCE，∴点D到平面ACE的距离为解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.面BCE，BE面BCE，，在的中点，设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，∴二面角B—AC—E的大小为（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，∴点D到平面ACE的距离19、解：①12\n即线路信息畅通的概率为……………………6分②信息总量x分布列x456789P线路通过信息量的数学期望为6.5．．．．．．．．．．．．．．13分∴是一个以为首项，为公差的等差数列。（3），12\n∵，∴数列的“上渐近值”为。21．⑴证明：fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx，令g(x)＝(1＋x)n－1－nx，则g′(x)＝n[(1＋x)n－1－1]．当x∈(－2，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故g(x)在x＝0处取得极(最)小值g(0)＝0，∴g(x)≥0，即fn(x)≥nx(当且仅当x＝0时取等号)．…………………………………3分⑵解：由，得，∴1＋x0＝，x0＝，易知x0>0，而x0－1＝．由⑴知当x>0时，(1＋x)n>1＋nx，故2n＋1＝(1＋1)n+1>1＋n＋1＝n＋2，∴x0<1，∴0<x0<1．…………………………………………………………………7分⑶解：h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2，h′(x)＝(1＋x)2＋x·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)O－1xyACB－2y＝－－y＝kx－令h′(x)＝0，得x＝－1，x＝－，∴当x∈(－2，－1)时，h′(x)>0；当x∈(－1，－)时，h′(x)<0；当x∈(－，＋∞)时，h′(x)>0．故h(x)的图象如右图所示．……………………………………………………………9分下面考察直线y＝kx(k>0)与曲线y＝h(x)的相交问题．当交点均在[－，0]内时，由得或当－≤－1<0，即≤k<1时，存在满足条件的区间[a，b]＝[－1，0]，∴k的最小值为，此时[a，b]＝[－，0]．……………………………………………11分12\n12
