湖北省利川市文斗乡长顺初级中学2022-2022学年高二数学上学期期末考试试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是A．B．C．D．或2．已知，则A．B．C．D．3．已知是圆内一点，过点最长的弦所在的直线方程是A．B．C．D．4．以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直；③垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．3BAH5．已知二面角为锐角，点到平面的距离，到棱的距离，则二面角的大小为A．B．C．D．6．已知平面平面，，且直线与不平行．记平面的距离为，直线的距离为，则A．B．C．D．与大小不确定7．一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点PADFECBA．B．C．D．8．如图，在正四面体中，分别是的中点，-11-\n则下列四个结论中不成立的是A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面9．已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心到平面的距离为A．B．C．D．CB1C1D1A1BAD10．如图，在棱长为的正方体面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为A．2B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11．已知某球的体积与其表面积的数值相等，则此球体的体积为________．C1B1D1A1ABCDACBA1C112．如图，长方体中，，则长方体的对角线长等于________．13．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为，则异面直线与的距离是_______．14．过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若，则此直线的方程为_________．B1AC1D1A1BCDP15．如图，正方体的棱长为1，点在侧面及其边界上运动，并且总保持平面，则动点P的轨迹的长度是_________．-11-\n-11-\n第Ⅱ卷答题卡题号12345678910答案题号1112131415答案三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．（本题满分12分）已知方程表示一个圆，求圆心的轨迹方程．-11-\nEDCAB18．（本题满分12分）如图，空间四边形中，，是与的公垂线段，且．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成的角的大小．19．（本题满分12分）已知椭圆的方程是，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，双曲线的左、右顶点分别是的左、右焦点．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点，且（为原点），求实数的取值范围．-11-\n20．（本题满分13分）如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，底面，分别为的中点，于，直线与平面所成的角的正弦为．（1）求的长；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．-11-\n21．（本题满分14分）设、R，常数．定义运算“”：．（1）若求动点轨迹C的方程；（2）若，不过原点的直线与轴、轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q,试求的取值范围；（3）设是平面上的任一点，定义、．若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得成立，求实数的取值范围．-11-\n1～5DABBC6～10BDCAC11．12．313．14．15．16解答：要使方程表示圆，则．整理得，解得．设圆心的坐标为，则，消去参数可得，，又．故圆心的轨迹方程为，即．17解答：连结交于点，连结．由知，即为与所成的角．是正四棱锥，平面．又中，，即异面直线与所成角的为．Ｈ18解答：（1）由已知可得平面．又中，知，又为在平面内的射影，（2）连结，作于，连结．由知，平面，所以平面平面，又，平面故与平面所成的角为．≌，又为等边三角形．记，则．在中，，-11-\n故在中，，故与平面所成的角为．19解答：（1）由题意知，椭圆焦点为，顶点．所以双曲线中，，故双曲线的方程为．（2）联立得，．由题意知，得①记，则．，由题，知，整理得②由①②知，，故的取值范围是．20解答：（1）由底面知，，又平面．故与平面所成的角的正弦为，中，即（2）由分别为的中点，，又，所以平面，故为二面角的平面角．由，在中，，，P故，所以二面角的大小为．（3）作于点，由，所以平面平面平面-11-\n又，平面点到平面的距离即为．在中，，即点到平面的距离为．21解答：（1）设,又由，可得动点轨迹的方程为：．（2）由题得，设直线,依题意，则．都在直线上，则．第21题（2）图oPSTQB1由题，，∴由消去得，．代入得，又知，，所以即的取值范围是．-11-\n-11-
