海南中学2022—2022学年第一学期期末考试高二数学理科试卷（试题）（1-16班用）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数满足方程（为虚数单位），则A．B．C．D．2．已知函数，若，则的值等于A．B．C．D．3．如图，函数y＝f(x)的图象，则该函数在的瞬时变化率大约是A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5xyOy=(x)第5题图4．过曲线图象上一点(2,2)及邻近一点(2,2)作割线，则当时割线的斜率为A．B．C．1D．5．若二次函数f(x)的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数(x)的图象如右图所示，则函数f(x)图象的顶点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知向量=(2,4,5)，=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则A．x=6、y=15B．x=3、y=C．x=3、y=15D．x=6、y=-9-\n7．对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数为第8题图A．1B．2C．3D．48．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A．B．C．D．9．已知函数，则A．B．C．D．10．已知双曲线(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为A．B．C．D．11．已知不等式恒成立，则k的最大值为A．eB．C．D．12．对于三次函数，给出定义：设是函数y=f(x)的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数y=f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则=A．2022B．2022C．D．1007-9-\n第二卷（非选择题，共90分）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是▲．14．若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于▲．15．椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为▲．第16题图16．如图，直线将抛物线与轴所围图形分成面积相等的两部分，则=▲．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为，求直线l的参数方程（标准形式）．18．（本题满分12分）已知函数f(x)=ex－ax－1．(Ⅰ)若a=1，求证：；(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．-9-\n第19题图19．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角的大小．20．（本题满分12分）一块长为、宽为的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点和，动点M满足，设点M的轨迹为C，半抛物线：（），设点．(Ⅰ)求C的轨迹方程；(Ⅱ)设点T是曲线上一点，曲线在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．22．（本小题满分12分）已知函数，．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．海南中学2022—2022学年第一学期期末考试高二数学（理科）参考解答与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ACDBDDCBBCAA-9-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．；14．；15．；16．．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为，求直线l的参数方程（标准形式）．17．解：(Ⅰ)直线l的方程：y1=1(x+1)，即y=x；（1分）C：ρ=4cosθ，即x2+y24x=0，（2分）联立方程得2x24x=0，∴A(0,0)，B(2,2)；（4分）极坐标为A(0,0)，B；（5分）(Ⅱ)C：(x2)2+y2=4，弦心距，（6分）设直线l的方程为kxy+k+1=0，∴，∴k=0或k=．（8分）∴直线l：(t为参数)或(t为参数)（10分）18．（本题满分12分）已知函数f(x)=ex－ax－1．(Ⅰ)若a=1，求证：；(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．18．解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=ex－x－1，由得x()0f’(x)0+f(x)单调减极小值单调增-9-\n∴，从而，即证恒成立；（6分）(Ⅱ)f(x)的定义域为R，.若，则，所以f(x)在R上单调递增，值域为R；（8分）若，则当时，；当时，；所以，f(x)在上单调递减，在上单调递增，，值域为．（12分）第19题图19．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角的大小．19．解：(Ⅰ)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥BC（1分）又，即BC⊥AC，AC∩C1C=C∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（4分）(Ⅱ)∵，依题意，∴，D为AA1中点；（7分）（法1）取的中点，过点作于点，连接，面面面，得点与点重合，且是二面角的平面角．（10分）设，则，，得二面角的大小为-9-\n．（12分）（法2）以C为空间坐标原点，CA为x轴正向、CB为y轴正向、CC1为z轴正向，建立空间直角坐标系，设AC的长为1，则A(1,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,1)、A1(1,0,2)、B1(0,1,2)、C1(0,0,2)．（8分）作AB中点E，连结CE，则CE⊥AB，从而CE⊥平面A1BD，平面A1BD的一个法向量（9分）设平面BC1D的一个法向量为，则∴，令，得，∴∴故二面角为．（12分）20．（本题满分12分）一块长为、宽为的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．20．解：(Ⅰ)依题意，折成无盖方盒的长为、宽为、高为，故体积，其中常数；（5分）(Ⅱ)由（6分）得，（7分）在定义域内列极值分布表（10分）x(0,)f’(x)+0f(x)单调增极大值单调减∴．（12分）21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点和，动点M满足-9-\n，设点M的轨迹为C，半抛物线：（），设点．(Ⅰ)求C的轨迹方程；(Ⅱ)设点T是曲线上一点，曲线在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．21．解：（Ⅰ）设点，由，得，所以的轨迹方程是；（4分）（Ⅱ）抛物线为，设（），则，所以切线为：，即，联立，,判别式△，设，，则，过点作轴的垂线交直线于点，于是，得，则，故△ABD的面积，此时．（12分）-9-\n22．（本小题满分12分）已知函数，．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．22．解：(Ⅰ)当时，，列极值分布表∴在上递减，在上递增，∴的极小值为；……3分(Ⅱ)∴……4分①当时，，∴在上递增；②当时，，∴在上递减，在上递增；………7分(Ⅲ)先解区间上存在一点，使得成立在上有解当时，………8分由(Ⅱ)知①当时，在上递增，∴∴②当时，在上递减，在上递增(ⅰ)当时，在上递增，∴，∴无解(ⅱ)当时，在上递减∴，∴；(ⅲ)当时，在上递减，在上递增∴令，则∴在递减，∴，∴无解，即无解；综上：存在一点，使得成立，实数的取值范围为：或．所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．…………12分-9-
