2022年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。参考公式：柱体的体积公式：V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式：V=Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高台体的体积公式其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的表面积公式S=4πR2球的体积公式V=πR3其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=（）A.ÆB.[0，+∞)C.(0，+∞)D.[1，+∞)2.已知直线l:y=x与圆C:(x－a)2+y2=1，则“a=”是“直线l与圆C相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.已知sinx+cosx=，则cos(－x)=（）A.－B.C.－D.4.下列命题正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D.平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形-15-5.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A.0<ω≤1B.ω≥1C.0<ω≤1或ω=3D.0<ω≤36.设F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（在第一象限内），使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.(1，3)B.(3，+∞)C.(1，2)D.(2，+∞)7.长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（）A.B.C.D.8.过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（）A.2B.2(3－)C.4(2－)D.4(3－2)非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。9.设函数f(x)=，则f(－2)=；使f(a)<0的实数a的取值范围是.10.设{an}为等差数列，Sn为它的前n项和若a1－2a2=2，a3－2a4=6，则a2－2a3=，S7=.11.如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形。则该几何体的体积等于cm3，它的表面积等于cm2.（第11题图）12.抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为13.已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的取值范围是14.设实数x，y满足不等式组，若|ax－y|的最小值为0，则实数a的最小值与最大值的和等于.-15-15.设，∠AOB=60°，，且λ+m＝2，则在上的投影的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b=2，c=4，sinA=2sinB.(Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅱ)求sin(2A－B)．17．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，(Ⅰ)求证：AC⊥BD；(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。（第17题图）18.（本题满分15分）已知椭圆C:的下顶点为B(0，－1)，B到焦点的距离为2.(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；(Ⅱ)直线l过定点P(0，2)与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为，求直线l的方程。19．（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：对于n≥2，-15-20．（本题满分14分）已知函数f(x)=，其中k，b为实数且k≠0.（I）当k>0时，根据定义证明f(x)在(－∞，－2)单调递增；（II）求集合Mk={b|函数f(x)有三个不同的零点}.-15-2022年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案2022.2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.题号12345678答案BABDCACD二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.9．；．10．；．11．；．12．；．13．．14．． 15．．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本题15分）解法一：（I）由．…………………1分又∵，∴．………………………………………………2分．…………………………………4分．……………………………………5分∴．………………………………7分（II）．……………………………9分．………………………………10分．………………………………11分．………………………………………………13分∴…………………………………14分．…………………………………………15分-15-解法二：（I）由．…………………………………1分又∵，∴．……………………………………………2分又，可知△为等腰三角形．………………………………………3分作于，则．…………5分∴．……………………………7分（II）．…………………………9分．…………………………………10分由（I）知．……………………………………11分∴………………………………………13分………………………………………………………………14分．……………………………………………………15分17．（本题15分）（I）证明（方法一）：∵，，．∴．∴．………………………2分取的中点，连结，则，．………………………………………………………………3分又∵，……………………………………4分平面，平面，∴平面，……………………………………5分∴………………………………………………6分（方法二）：过作⊥于点．连接．…1分-15-∵，，．∴．∴⊥．…………………3分又∵，……………………………………4分平面，平面，∴⊥平面．……………………………………5分又∵平面，∴．……………………………………………6分（方法三）：………………2分………………………………3分………4分，……………………5分∴．……………………………………………6分（II）解（方法一）：过作⊥于点．则平面，又∵平面⊥平面，平面平面，∴⊥平面．……………………………………8分过做⊥于点，连接．………………9分∵⊥平面，∴⊥，又，∴⊥平面，∴⊥．…………………10分∴为二面角的平面角．…………11分连接．∵，∴⊥．∵，，-15-∴，．∵，∴．………12分∴∴．…………………………13分∴，…………………………………………14分∴．∴二面角的余弦值为．………………………………15分（方法二）：由（I）过作⊥于点，连接∵，∴⊥．∵平面⊥平面，∴⊥．…………………………7分分别以为轴建立空间直角坐标系．………………8分∵，，∴，．∵，∴．………………………………9分．…10分可得，．………11分设平面的法向量为，则，取，得一个．……………………………………………………12分-15-取平面的法向量为．……………………………………13分．……………………………………14分∴二面角的余弦值为．…………………………………15分18．（本题15分）解：（I）由椭圆的下顶点为知．………1分由到焦点的距离为知．………………………………………2分所以椭圆的方程为．……………………………………3分设，……………………………………4分．……………5分∴当时，．…………………………………………6分（II）由题设可知的斜率必存在．………………………………………………7分由于过点，可设方程为．……………………………8分与联立消去得．……………9分其．（*）……10分设，则．………………11分解法一：…………………………………………12分．………………………………………………………13分-15-解法二：，到的距离．………………………………………………………………12分．………………………………………………………13分解得或均符合（*）式．…………………………………14分∴或．所求方程为与．………………15分19．（本题15分）（I）解：由．①当时得．②……………2分①－②得．……………………………………………4分∴．………………………………………………5分又．…………………………………………………………6分综上得．……………………………………………………7分（II）证明：当时，．………………………10分………………………………………11分-15-．…………………………………………………………………………13分∴当时，．………………………………15分20．（本题14分）（I）证明：当时，．……1分任取，设．……………………………………………2分．……………………………………………4分由所设得，，又，∴，即．……………………………………5分∴在单调递增．……………………………………………………6分（II）解法一：函数有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．方程化为：与．…7分记，．⑴当时，开口均向上．由知在有唯一零点．…………………………………8分为满足有三个零点，在应有两个不同零点．∴．…………………………………10分-15-⑵当时，开口均向下．由知在有唯一零点．为满足有三个零点，在应有两个不同零点．………………………………………………11分∴．……………………………13分综合⑴⑵可得．……………………………………14分解法二：．…………………………………7分⑴当时，在单调递增，且其值域为，所以在有一个零点．……………………………………………………………………………………8分为满足都有三个不同零点，在应有两个零点．时，．………………………………9分在单调递减，在单调递增，且在这两个区间上的值域均为．∴当即时，在有两个零点．从而有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当时，在单调递减，且其值域为，所以在有一个零点．……………………………………………………………………………………11分为满足都有三个不同零点，在应有两个零点．-15-时，．……………………………………………………………12分在单调递减，在单调递增．且在这两个区间上的值域均为∴当即时，在有两个零点．从而有三个不同零点．………………………………………………………………………13分综合⑴⑵可得．…………………………………………14分解法三：函数都有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．令．则．………………7分⑴当时，若，单调递减，且其值域为，所以在有一个实根．……………………………………………………………………………8分为满足都有三个不同零点，在应有两个实根．时，．…………………………………9分在单调递增，在单调递减，且在这两个区间上的值域均为．∴当时，在有两个实根．从而有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当时，若，单调递增，且其值域为，所以在-15-有一个实根．…………………………………………………………………………………11分为满足都有三个不同零点，在应有两个实根．时，．………………………………12分在单调递增，在单调递减．且在这两个区间上的值域均为．∴当时，在有两个实根．从而有三个不同零点．………………………………………………………………………………………13分综合⑴⑵可得．……………………………………14分解法四：函数有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．亦即函数与函数的图象有三个不同的交点．．……………………………………………………7分⑴当时，直线与图象左支恒有一个交点．…………8分为满足都有三个不同零点，直线与图象右支应有两个交点．∴时，方程应有两个实根．即应有两个实根．当且仅当．………10分-15-⑵当时，直线与图象右支恒有一个交点．……………11分为满足都有三个不同零点，直线与图象左支应有两个交点．∴时，方程应有两个实根．即应有两个实根．当且仅当．………13分综合⑴⑵可得．……………………………………14分-15-
