平阳二中2022学年第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，则()A．{2，4}B．C．D．2.已知函数是偶函数，且，则（）A.B.C.D.3．命题“存在，使＜0，为假命题”是命题“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则（）A.B.C.D.5.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面.在下列条件中,可得出的是（ ）A．B．C．D．6.已知某锥体的正视图和侧视图,其体积为，则该锥体的俯视图可以是()A.B.C.D.7．已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（ ）9\nA．B．C．D．8．设函数的集合,平面上点的集合,则在同一直角坐标系中,中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（ ）A．4B．6C．8D．10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。9.已知，则的值为,________10． ，值域为 ．11．已知数列则，数列{an}的通项公式为．12．向量,若∥，则_____；若,则______．13．函数，其中，若直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是.14.若不等式恒成立，则a的取值范围是________．9\n15.设R，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）在中，内角的对应边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．17、（本小题15分）设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．18、（本小题15分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)若E是PC的中点，求二面角E－BD－C的正切值．19.（本小题15分）9\n20、（本小题15分）设为实数，函数．若，求的取值范围；讨论的单调性；当时，讨论在区间内的零点个数.9\n平阳二中2022学年第一学期期中考试高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，1-5CDAAB,6-8CCB二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。9.10.(-2，2),11.12.0，313.114.a<15.[4,]三、解答题：本大题共5小题，共74分．16.（本小题满分14分）在中，内角的对应边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．（1）（2）（1）由正弦定理得到：因为在三角形中，所以所以因为，所以即所以即。（2）由余弦定理得到：,所以所以即当且仅当即时“=”成立而，所以面积的最大值为。9\n17.设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.又因为，，，所以数列是以首项为，公比为的等比数列所以数列的通项公式是（）.（Ⅱ）因为，所以，两式相减得，，整理得，().9\n18．（本小题15分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)若E是PC的中点，求二面角E－BD－C的正切值．[解析] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．(3)过点E作EF⊥CD于F,过F作HF⊥BD于H,故∠FHE为二面角E－BD－C的平面角．在Rt△EFH中，tan∠FHE＝.9\n19.20、设为实数，函数．9\n若，求的取值范围；讨论的单调性；当时，讨论在区间内的零点个数.9
