高一下学期期末考试数学试题一、填空题1．一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。2．已知函数的导数为,则=。3．在棱长为3的正四面体ABCD中,点E是线段AB上一点,且AE=1,点F是线段AD上一点,且AF=2,则异面直线DE与CF的夹角的余弦为．4．若向量，，其中和不共线，与共线，则.5．已知曲线方程，若对任意实数，直线都不是曲线的切线，则的取值范围是.6．在中，若，则外接圆半径．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径=7．已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则的值是。8．执行如图（2）所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________________.9\n9．设，则的最小值是10．如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，由此图可以知道：（1）样本数据落在范围的频率为＿＿＿；（2）样本数据落在范围的频数为＿＿＿．11．若为等差数列中的第8项，则二项式展开式中常数项是第项12．定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为 ．13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是。9\n14．函数在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_____二、解答题15．（本题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解不等式16．如图，平面平面，，，△是正三角形，则二面角的平面角的正切值为多少．17．已知函数．9\n（1）若，求函数的最大值．（2）若在定义域内为增函数，求实数的取值范围18．已知点列满足：，其中，又已知，．（I）若，求的表达式；（II）已知点B，记，且成立，试求a的取值范围；（III）设（2）中的数列的前n项和为，试求：。19．（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数，令函数．⑴若，求函数的极小值；⑵当时，解不等式；⑶当时，求函数的单调区间．20．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且(1)判断△ABC的形状；(2)若，求边c的值.9\n参考答案【解析】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中类比推理，不会设计成漫无目标的类比推理试题，而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑。三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球，与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。解：作一个在同一个顶点处棱长分别为的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径。9\n17．易见的定义域为．．………………………1分（1）当时，，令0，得或（舍去）．……………………………………………………3分列表：+0↗最大值：↘故函数的最大值为．………………………………………………………6分（2）令，即，．∵，∴．9\n∵在定义域内为增函数，∴在恒成立．……………7分即．…………………………9分当时，，当时，取得．故18．（1）（2）（3）见解析【解析】第一问利用∵，，∴∴，∴，∴19．(1)(2)(3)9\n20．（1）等腰三角形（2）29\n(1)∵∴………………………………………2分∴2RsinBcosA=2RsinAcosB…………………………………………………4分∴tanA=tanB∴△ABC为等腰三角形………………………………………………………6分9
