商丘市2022—2022学年度高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜｜x｜＞1}，则A∩B＝A．（0，1）B．（1，2）C．（－∞，－1）∪（0，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）2．若复数z满足（1＋i）z＝2－z，则｜z＋i｜＝A．B．C．2D．3．已知命题p：∈R，x－2＞lgx，命题q：∈R，＞0，则A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（）是假命题D．命题p∧（）是真命题4．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为A．1B．C．－1D．5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则α等于A．10°B．20°C．70°D．80°6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于A．63B．31C．127D．157．已知抛物线＝4x与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（＋）·＝0，则双曲线的离心率为A．＋2B．＋1C．＋1D．＋18．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A．4πB．8πC．12πD．16π109．设变量x，y满足约束条件：则z＝｜x－3y｜的最大值为A．10B．8C．6D．410．等比数列{}的前n项和为，＝4（a1＋a3＋…＋），a1a2a3＝27，则a6＝A．27B．8lC．243D．72911．给出下列四个结论：①若a，b∈[0，1]，则不等式≤1成立的概率为；②由曲线y＝与y＝所围成的封闭图形的面积为0．5；③已知随机变量ξ服从正态分布N（3，），若P（ξ≤5）＝m，则P（ξ≤1）＝1－m；④的展开式中常数项为．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）满足f（x）＝f（），当x∈[1，3]时，f（x）＝lnx，若在区间[，3]内，曲线g（x）＝f（x）－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题．每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_______种．14．若圆C：＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_____________。15．已知函数y＝f（x－1）＋是定义在R上的奇函数，且f（0）＝－1，若g（x）＝1－f（x＋1），则g（－3）＝______________16．已知数列{}通项公式为＝－n＋p，数列{}通项公式为＝，设＝10若在数列{}中，＞（n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＋sinB＝2sinC，a＝2b．（Ⅰ）证明：△ABC是钝角三角形；（Ⅱ）若，求c的值．18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11．52天数102515频率0．2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设＝λ（0≤A≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．（本小题满分12分）已知直线l的方程为y＝x－2，又直线l过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）10＋－bx．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）－g（x2）的最小值．请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l经过点P（，1），倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为＝cos（θ－）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知a＋b＝1，对，b∈（0，＋∞），＋≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，（Ⅰ）求＋的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围。10商丘市2022—2022学年度第一次模拟考试高三数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）A（7）D（8）A（9）B（10）C（11）C（12）C二、填空题（每小题5分，共20分）（13）10；（14）4；(15)2；（16）.三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理得，又，可得，……………………………3分所以，所以为钝角，故为钝角三角形．……………6分（Ⅱ）由，得，……………………9分所以，解得．…12分（18）解：（Ⅰ），，………………………2分依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率，设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则，．…………5分（Ⅱ）的可能取值为，………………7分则：，，,,10，所以的分布列为：456780.040.20.370.30.09………10分的数学期望．……12分（19）解：（Ⅰ）因为平面,平面，所以，…1分在中，，由余弦定理得：，所以，…3分故,所以,…………5分又，∴平面．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，.………7分所以,所以，∴,则，.…………8分设平面的一个法向量为，则，得，令，则，∴,………9分.∵平面，是平面的一个法向量，………10分∴.10两边平方并化简得，所以或（舍去）．∴……………12分（20）解：（Ⅰ）∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点，∵直线与轴的交点为，∴椭圆的焦点为，∴，…1分又∵，∴，∴…………3分∴椭圆方程为．……………4分(Ⅱ)直线的斜率显然存在，设直线方程为设，由，得，显然，…………6分……8分…10分令则,,，即时，的最大值为.…………12分（21）解：（Ⅰ）∵，∴，…………2分又与直线垂直，∴，∴．……4分10(Ⅱ)，令，得，,……………6分,…8分，所以设，所以在单调递减，10分，，∴，故所求的最小值是．…………12分（22）解：(Ⅰ)证明：因为四边形为圆内接四边形,所以…1分又所以∽，则.………3分而，所以.…………………4分又，从而………………5分(Ⅱ)由条件得.………………6分设，根据割线定理得，10即所以，解得,即.…………10分（23）解：（Ⅰ）直线的参数方程为，即（为参数）……2分由，得，所以,………4分得，即．…………5分（Ⅱ）把代入，得，…8分∴．………10分（24）解：（Ⅰ）∵且，∴，………3分当且仅当，即，时，取最小值9．………………5分（Ⅱ）因为对，使恒成立，所以，………………7分当时，不等式化为，解得；10当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；∴的取值范围为.…………10分10
