2022-2022学年河南省鹤壁市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U是实数集R，M={x|x2>4}，N={x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|−2≤x<1}B.{x|−2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}【答案】C【解析】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩CUM，又CUM={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，∴N∩CUM={x|1<x≤2}．故选：C．欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩CUM.本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=1xB.y=e−xC.y=lg|x|D.y=−x2+1【答案】D【解析】解：A中，y=1x为奇函数，故排除A；B中，y=e−x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈(0,1)时，单调递减，在x∈(1,+∞)时，单调递增，所以y=lg|x|在(0,+∞)上不单调，故排除C；D中，y=−x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，故选：D．利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．3.函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域为( )A.(−1,+∞)B.[−1,+∞)C.(−1,1)∪(1,+∞)D.[−1,1)∪(1,+∞)11/11\n【答案】C【解析】解：要使函数有意义需x−1≠0x+1>0，解得x>−1且x≠1．∴函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域是(−1,1)∪(1,+∞)．故选：C．依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x−1≠0，进而可求得x的范围．本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．1.已知函数f(x)=x+1,x≤02x,x>0，若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于( )A.−3B.−1C.1D.3【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=x+1,x≤02x,x>0，∴f(1)=2×1=2，∵f(a)+f(1)=0，∴f(a)=−2，当a>0时，f(a)=2a=−2，解得a=−1，不成立，当a≤0时，f(a)=a+1=−2，解得a=−3．∴实数a的值等于−3．故选：A．先求出f(1)=2×1=2，从而f(a)=−2，当a>0时，f(a)=2a=−2，当a≤0时，f(a)=a+1=−2，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2.已知a=21.2，b=(12)−0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【答案】C【解析】解：∵b=(12)−0.2=20.2<21.2=a，∴a>b>1．∵c=2log52=log54<1，∴a>b>c．故选：C．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．11/11\n1.下列说法中正确的个数是( )(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线(2)如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，则直线AB//α(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】解：(1)平面α与平面β，γ都相交，当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线，当β//γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线．当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线则这三个平面有1条或2条或3条交线，故(1)错误；在(2)中，如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，如图所示：若平面α外有两点A、B到平面α的距离相等，则直线AB和平面α可能平行或可能相交，故(2)错误；在(3)中，直线a不平行于平面α，则a可能在平面内，此时a与α内任何一条直线相交、平行或异面，故(3)错误．故选：A．在(1)中，分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条、2条或3条；在(2)中，若A、B在平面α的同侧，可判断出直线AB和平面α平行，若A、B在平面α的异侧，可判断出直线AB和平面α相交；在(3)中，直线a可能在平面内，此时a与α内任何一条直线相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是(1,0，1)，(1,1，0)，(0,1，1)，(0,0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )A.B.C.D.11/11\n【答案】A【解析】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是(1,0，1)，(1,1，0)，(0,1，1)，(0,0，0)，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．1.若函数f(x)=ax,x>1(4−a2)x+2,x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A.(1,+∞)B.(1,8)C.[4,8)D.(4,8)【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=ax,x>1(4−a2)x+2,x≤1是R上的增函数，∴a>14−a2>0a1≥4−a2+2，解得4≤a<8故选：C．让两段都单调递增，且让x=1时ax≥(4−a2)x+2，解关于a的不等式组可得．本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．2.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90∘，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=2AB，则三角形A1DB11/11\n为等边三角形，∴∠DA1B=60∘故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC−A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．1.圆x2+y2−2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a−b的取值范围是( )A.(−∞,4)B.(−∞,0)C.(−4,+∞)D.(4,+∞)【答案】A【解析】解：∵圆x2+y2−2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心(1,−3)在直线y=x+2b上，故−3=1+2b，∴b=−2. 对于圆x2+y2−2x+6y+5a=0，有4+36−20a>0，∴a<2，a−b=a+2<4，故选：A．由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a<2，从而利用不等式的性质求出a−b的取值范围．本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．2.设点P是函数y=−4−(x−1)2图象上的任意一点，点Q(2a,a−3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.5−2B.5C.855−2D.755−2【答案】A【解析】解：由函数y=−4−(x−1)2得(x−1)2+y2=4，(y≤0)，对应的曲线为圆心在C(1,0)，半径为2的圆的下部分，∵点Q(2a,a−3)，∴x=2a，y=a−3，消去a得x−2y−6=0，即Q(2a,a−3)在直线x−2y−6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|−2=|1−0−6|5−2=5−2，故选：A．将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．3.设函数f(x)=1−|x|,x∈[−1,1]2f(x−2),x∈(1,+∞)，若关于x的方程f(x)−loga(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是( )11/11\nA.(1,3)B.(45,+∞)C.(3,+∞)D.(45,3)【答案】C【解析】解：函数f(x)=1−|x|,x∈[−1,1]2f(x−2),x∈(1,+∞)，x在区间[−1,5]上的图象如图：关于x的方程f(x)−loga(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，就是f(x)=loga(x+1)恰有5个不同的根，函数y=f(x)与函数y=loga(x+1)恰有5个不同的交点，由图象可得：loga5<4loga3<2，解得a>3．故选：C．画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果．本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，分析问题解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.函数y=loga(2x−3)+4的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=______．【答案】9【解析】解：∵loga1=0，∴当2x−3=1，即x=2时，y=4，∴点M的坐标是P(2,4)．幂函数f(x)=xα的图象过点M(2,4)，所以4=2α，解得α=2；所以幂函数为f(x)=x2则f(3)=9．故答案为：9．由loga1=0得2x−3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标.再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．2.正方体的棱长为2，则该正方体的体积与其内切球表面积的比为______．【答案】2：π【解析】解：正方体的体积为：8；内切球半径为1，故内切球表面积为4π，∴正方体的体积与其内切球表面积的比为8：4π，即2：π，11/11\n故答案为：2：π．正方体体积为棱长的立方，内切球半径为棱长的一半，容易求得二者之比．此题考查了正方体的内切球，属容易题．1.若两直线3x+y−3=0与6x+my+1=0平行，则m=______．【答案】2【解析】解：由3m−6=0，解得m=2，经过验证满足两条直线平行．∴m=2．故答案为：2．由3m−6=0，解得m，经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知函数f(x)=x|x−4|+2x，存在x3>x2>x1≥0，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1⋅x2⋅f(x3)的取值范围是______．【答案】(64,81)【解析】解：由f(x)=x|x−4|+2x，得：f(x)=(x−1)2−1(x≥4)−(x−3)2+9(x<4)，设f(x1)=f(x2)=f(x3)=k，由图知：8<k<9，则x1，x2为方程−(x−3)2+9=k，即x2−6x+k=0的两根，由韦达定理得：x1⋅x2=k，则x1⋅x2⋅f(x3)=k2，又8<k<9，则64<k2<81，故答案为：(64,81)．由分段函数f(x)=x|x−4|+2x，得：f(x)=(x−1)2−1(x≥4)−(x−3)2+9(x<4)，作其图象，由方程的根与函数的零点得：x1⋅x2⋅f(x3)=k2，又8<k<9，则64<k2<81，得解．本题考查了分段函数的图象及方程的根与函数的零点，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）3.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}(1)若A∩B=B，求实数a的值；(2)若A∪B=B，求实数a的值．【答案】解：由A中方程变形得：x(x+4)=0，解得：x=0或x=−4，即A={−4,0}，(1)∵A∩B=B，∴B⊆A，11/11\n当B=⌀时，B中方程无解，即4(a+1)2−4(a2−1)<0，解得：a<−1；当B≠⌀时，B中方程有解，且x=−4或x=0为方程的解，把x=−4代入B中方程得：16−8a−8+a2−1=0，即a2−8a+7=0，解得：a=1或a=7(不合题意，舍去)；把x=0代入方程得：a2−1=0，即a=−1或1，综上，实数a的值为a≤−1或a=1；(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，把x=0与x=−4为B中方程的解，此时0−4=−2(a+1)，解得：a=1．【解析】(1)求出A中方程的解确定出A，根据A与B的交集为B，确定出a的值即可；(2)根据A与B的并集为B，确定出a的值即可．此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．1.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：y=P(x)=2(1−kt)(x−b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0,12)).(x为市场价格，b、k为正常数)，当t=18时的市场供应量曲线如图(1)根据图象求k、b的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)=211−12x.当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【答案】解：(1)由图可知，t=18时有2(1−k8)(5−b)2=12(1−k8)(7−b)2=2解得b=5k=6(2)当P=Q时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t=16[1−22−x2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m=1x−5，∵x≥9，∴m∈(0,14]，则t=−112(17m2−m−2)，∴对称轴m=134∈(0,14]，且开口向下；∴m=14时，t取得最小值19192，此时x=9∴税率t的最小值为19192．11/11\n【解析】第一问能根据图象求出k、b的值.第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值.考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战．此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识.考查的知识全面而到位！1.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB⊥AD，AD⊥DC.PA⊥底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．(1)求证：平面PAD⊥平面PDC；(2)求证：MN//平面PAD；(3)求三棱锥C−PBD的体积．【答案】(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD；又AD⊥DC，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．(2)证明：取PD的中点E，连接ME，AE，∵M，E分别是PC，PD的中点，∴ME//CD，且ME=12CD=12，又AB⊥AD，AD⊥DC，BN=3AN，AB=2，∴AN//CD，AN=14AB=12，∴EM//AN，EM=AN，∴四边形MEAN为平行四边形，∴MN//AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN//平面PAD．(3)解：∵PA⊥底面ABCD，S△BCD=12×DC×AD=12×1×1=12，∴VC−PBD=VP−BCD=13S△BCD⋅PA=13×12×1=16．【解析】(1)由PA⊥底面ABCD得PA⊥CD，又CD⊥AD得CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PDC；(2)取PD的中点E，连接ME，AE，则可证四边形AEMN是平行四边形，于是11/11\nMN//AE，得出MN//平面PAD；(3)以三角形BCD为棱锥的底面，则棱锥的高为PA，代入体积公式计算即可．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．1.已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx−4．(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=π2时，求k的值；(2)若EF，GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,2)，求四边形EGFH的面积S的最大值．【答案】解：(1)∵∠AOB=π2，∴点O到直线l的距离d=22×2，∴4k2+1=22×2，解得k=±7，(2)设圆心O到直线EF，GH的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，|EF|2=24−d12，|GH|2=24−d22，∴S=12|EF|⋅|GH|=2(4−d12)(4−d22)=2(4−d12)(1+d12)=2−(d12−32)2+254，∴S≤2×52=5，当且仅当d12=32，即d1=62时，取等)∴四边形EGFH的面积S的最大值为5．【解析】(1)∵∠AOB=π2，∴点O到直线l的距离d=22×2，根据4k2+1=22×2解得即可；(2)先求出圆心O到直线EF，GH的距离，再根据勾股定理求出弦长|EF|和|GH|，再代入面积公式后用二次函数求出最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．2.已知函数f(x)=log12(x2+1)，g(x)=x2−ax+6．(Ⅰ)若g(x)为偶函数，求a的值并写出g(x)的增区间；(Ⅱ)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2<x<3}，当x>1时，求g(x)x−1的最小值；(Ⅲ)对任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，∴g(−x)=g(x)，∴x2−ax+6=x2+ax+6，∴a=0，∴g(x)=x2+6，∴g(x)的增区间为(0,+∞)；(Ⅱ)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2<x<3}，∴a=2+3=5，∴g(x)=x2−5x+6，∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3≥2(x−1)⋅2x−1−3=22−3，当且仅当x=2+111/11\n时取等号，∴g(x)x−1的最小值为22−3，(Ⅲ)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=log12(x2+1)，∴f(x)max=f(1)=llog122=−1，∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，设h(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，①当a2≤−2时，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，∴h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，∴−112≤a≤−4，②当a2≥4时，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，∴h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，∴此时为空集，③当−4<a<8时，h(x)在[−2,a2]为减函数，在[a2,4]上为增函数，∴h(x)min=h(a2 )=−a24+7≥0，即−27≤a≤27∴−4<a≤27，综上所述a的取值范围为[−112,27]【解析】(Ⅰ)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，(Ⅱ)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，(Ⅲ)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．11/11
