2022－2022年度高中二年级第一学期期中考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至4页,共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（客观题共60分）注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为( )A．30B．40C．50D．602.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.B.C.D.3.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（）A．B．C．D．4.如果在一次实验中，测得(x,y)的四组数值分别是A(1,3),B(2,3.8),C(3,5.2),D(4,6),则y与x之间的回归直线方程是( )A.＝x＋1.9B.＝1.04x＋1.9C.＝0.95x＋1.04D.＝1.05x－0.95.已知平面的法向量是（2,3，-1），平面的法向量是，若，则的值是（）A.B．6C．D．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.B.C.D.-9-\n7.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，,，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．9.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.B．1－C.D．1－10.设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（ ）A.60°B.45°C.90°D.以上都不对12.有关下列命题，其中正确命题的个数是（）（1）命题“若，则”的否命题为“若，则”（2）“”是“”的必要不充分条件（3）若是假命题，则都是假命题（4）命题“若且，则”的等价命题是“若，则”A.1B.2C.3D.4第II卷（非选择题共90分）-9-\n二、填空题（本题共20分，每小题5分）13.把下列各进制的数，，按从小到大的顺序排列________．14.已知命题，，则的否定为______．15.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．16.已知椭圆,过点作直线与椭圆交于两点,点是线段的中点,则直线的斜率为 .三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）17.(本小题10分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？18.(本小题12分)已知点M(3，－6)在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A，B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求线段AB的长.19.(本小题12分)如图是某地某公司1000名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：(1)该公司员工月收入的众数；(2)该公司月收入在1000元至1500元之间的人数；(3)该公司员工的月平均收入；(4)该公司员工月收入的中位数．20.(本小题12分)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减；命题q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求实数c的取值范围．-9-\n21.(本小题12分)如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.22.(本小题12分)已知椭圆的两个焦点分别为,F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2。（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．四、附加题（共两个题，20分）23.(本小题5分)(2022·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )24.(本小题15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.求直线AB的斜率的最小值．-9-\n黄骅中学2022－2022年度高中二年级第一学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1-6BCABCD 7-12BADBCC二、填空题(每小题5分,共20分)13.14.,15.16.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)解：--------2分--------4分----8分∵∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡---------10分18.(本小题12分)解：（1）,---------6分（2）---------12分19.(本小题12分)解:（1）2500元---2分(2)[1-（0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001）×500]×1000=100人---4分（3）0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元--8分（4）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）-----12分20.(本小题12分)解：因为函数y＝cx在R上单调递减，所以0<c<1.即p：0<c<1，因为c>0且c≠1，所以p：c>1.------2分又因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，所以c≤.即q：0<c≤，因为c>0且c≠1，所以q：c>且c≠1.------4分-9-\n又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0<c<1}∩＝.②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝∅.------10分综上所述，实数c的取值范围是.------12分21.(本小题12分)解：（1）证明：取的中点，连接因为，，所以且.因为平面平面，平面平面，所以平面所以.如右图所示，建立空间直角坐标系则所以因为所以------4分（2）由（1）得，所以设为平面的一个法向量，则，取，则所以---7分又因为为平面的一个法向量，所以所以二面角的余弦值为.--------9分（3）由（1）（2）可得，为平面的一个法向量.-9-\n所以点到平面的距离.------12分22．(本题满分12分)解：（1）根据题意,故可设椭圆：.将代入得，故椭圆的方程为.----4分（2）当直线的斜率不存在时,其方程为,经验证，不符合题意；----6分当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由可得.设,则因为,所以,即-----------------10分解得,即.故直线的方程为或.-----12分四、附加题(共20分)：23.(本小题5分)[答案] D[解析] 当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，∴y′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．-9-\n当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.24．(本小题15分)解:(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a＝4,2c＝2，所以a＝2，b＝＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.-------2分(2)①设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．所以直线PM的斜率k＝＝，直线QM的斜率k′＝＝－.此时＝－3.所以为定值－3.--------4分②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线PA的方程为y＝kx＋m，直线QB的方程为y＝－3kx＋m，联立整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.由x1x0＝，可得x1＝，所以y1＝kx1＋m＝＋m，同理x2＝，y2＝＋m.所以x2－x1＝－＝，y2－y1＝＋m－－m＝.---------10分所以kAB＝＝＝.由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k＋≥2，-9-\n等号当且仅当k＝时取得．此时＝，即m＝，符合题意．所以直线AB的斜率的最小值为.----------15分-9-
