存瑞中学2022-2022学年度第一学期期中考试高三年级数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知集合，则A．B．C．D．2．的共轭复数为A．B．C．D．3．已知，，则A．B．C．D．4．已知A．2022B．C．D．5．已知某中学学生和老师一共2000人，现用分层抽样的方法从该校师生抽取抽取40个人参加一项活动，已知抽取的40个人中有16个为老师，则该中学学生人数为A．1200B．800C．100D．246.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A．B．C．D．7.已知分别是奇函数和偶函数，且的表达式为-13-\nA.B.C.D.8．已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围A．B．C．D．9．若函数上有极值点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．10．右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π＋12B.π＋18C．9π＋42D．36π＋1811．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为A．B．C．D．12.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.则三棱锥B－ACE的体积的最大值为A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为14.-13-\n15.在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．16.已知直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，则直线方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列的首项，且的等差中项(1)求数列的通项公式(2)若18．（本小题满分12分）已知圆经过点A,B,且它的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；-13-\n（3）若点D为圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程。19．（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面为矩形，的中点，（1）求证：（2）求证：20．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形.(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；-13-\n(1)求点A到平面BDE的距离.21．（本小题满分12分）已知，-13-\n22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点。(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值。参考答案一、选择题1.【答案】C-13-\n【解析】集合2.【答案】D【解析】3.【答案】B4.【答案】B【解析】5.【答案】B【解析】6.答案C7.【答案】A】因为所以8.【答案】A【解析】画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>.9.【答案】C【解析】由题易知，所以，易知-13-\n，故，所以10.【答案】B11.【答案】C12.【答案】B【解析】如图，△BCD外接圆的直径为（用正弦定理），所以球的直径为，故半径为2，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】，故14.【答案】【解析】由题知即，所以15.【答案】2【解析】由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－-13-\n2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.16.已知直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，则直线方程为三、解答题17.解：（1）（2），故18．（本小题满分12分）已知圆经过点A,B,且它的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆关于直线3x-y-3=0对称的圆的方程；（3）若点D为圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程。19.解：（1）在四棱柱中，又的中点，所以所以四边形是平行四边形，所以-13-\n又所以（2）在四棱柱中，又又的中点，所以所以四边形是平行四边形，所以因为，所以，所以在矩形ABCD中，所以所以，所以：20.解(1)证明 因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，所以BD＝，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE.因为DE∩CD＝D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD⊂平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE.(2)解 如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝3，易知EO⊥平面ABCD，则VE－ABD＝××2×3×3＝3，又因为直角三角形BDE的面积为×6×＝3，设点A到平面BDE的距离为h，则由VE－ABD＝VA－BDE，得×3h＝3，所以h＝，-13-\n所以点A到平面BDE的距离为.21.解：证明（1）当时，①当t=0时，单调递减②当t≠0时，（i）当时，为开口向上的二次函数，且，若时，在恒大于零，故单调递增若时，令令所以在区间单调递减，在区间单调递增.当时，在恒小于零，故单调递减（ii）当，为开口向下的二次函数，且，故在恒小于零，所以在区间单调递减综上，当时，在区间单调递减；当时，在区间单调递减，在区间单调递增.当时，在恒小于零，故单调递减（2）构造函数，则，因为-13-\n所以其斜率因为的导数，的几何意义是曲线上某一点的斜率，故存在一点使得=，即因为，所以所以22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）题号知识点题号知识点-13-\n1集合12立体几何2复数13函数定义域3同角三角函数14平面向量4等比数列15解三角形5抽样16直线方程6异面直线所成角17数列求和7奇偶性18圆8线性规划19平行与垂直9极值点20面面垂直距离10三视图21导数11立体几何22极坐标与参数方程-13-
